Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Линейным уравнением n-го порядка называется уравнение

 . (5)

Далее будем предполагать, что коэффициенты  и  определены и непрерывны при .

Если  на интервале , то уравнение называется однородным, в противном случае - неоднородным.

Для построения общего решения однородного уравнения достаточно знать n линейно независимых в интервале   частных решений  (т.е. фундаментальную систему решений).

Тогда формула

 ,  (6)

где  - произвольные постоянные, дает общее решение однородного уравнения.

 Если известна фундаментальная система решений однородного уравнения, то согласно методу Лагранжа (методу вариации произвольных постоянных), решение соответствующего неоднородного уравнения можно найти в виде

,

 где неизвестные функции   определяются из системы уравнений

 

  В частности, для уравнения второго порядка  эта система принимает вид

   (7)

 Если известно какое-либо частное решение неоднородного уравнения , то его общее решение можно найти как сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и этого частного решения.

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

  Далее будем рассматривать линейные уравнения с постоянными коэффициентами

   (8)

( - постоянные вещественные числа).

 1. Построение фундаментальной системы решений однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами.

Однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами

  (9)

имеет фундаментальную систему решений , определенную при всех x, структура которой зависит от вида корней характеристического уравнения 

 .  (10)

 Каждому вещественному простому корню   характеристического уравнения (10) соответствует решение , входящее в фундаментальную систему.

 Если уравнение  (10) имеет простой комплексный корень , то сопряженное число  тоже будет корнем уравнения, и корням ,  соответствуют два линейно-независимых частных решения  и , входящих в фундаментальную систему.

 Вещественному  корню  уравнения (10), имеющему  кратность p, соответствует p линейно-независимых частных решений , , ,..., , входящих в фундаментальную систему.

 p-кратным комплексно-сопряженным корням  и  соответствует 2p линейно-независимых решений вида

  , ..., ,

 , ..., ,

 входящих в фундаментальную систему.

  Таким образом, для того, чтобы найти общее решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами, надо найти корни характеристического уравнения, а затем выписать линейно-независимые решения указанного выше вида, соответствующие всем простым и кратным корням уравнения (10). Линейная комбинация (6) этих решений дает общее решение уравнения (9).

 Пример 13. Найдем общее решение уравнения .

Данному уравнению отвечает характеристическое уравнение . Так как левая часть уравнения раскладывается на множители: , то характеристическое уравнение имеет корни:   - корень кратности 2, ему отвечают два линейно-независимых решения  и  - пара комплексно-сопряженных корней, им соответствуют решения  и .

Общее решение исходного уравнения имеет вид .

 Пример 14. Решим неоднородное уравнение .

 Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Характеристическое уравнение  имеет корни , поэтому  - общее решение однородного уравнения.

Общее решение исходного уравнения будем искать методом вариации произвольных постоянных в виде .

Функции  и  удовлетворяют системе (7):

 Поэтому .

Интегрируя, находим

, где  - произвольные постоянные. Общее решение исходного уравнения  имеет вид

.

Упростив это выражение, получим

 .


Разложение функций в степенные ряды
Сборник задач с решениями по математике