Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ

Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной, т.е. уравнения вида , часто удается решить методом введения параметра . С помощью этого метода решаются уравнение Клеро , уравнение Лагранжа , уравнения вида . Покажем на примере применение  метода.

Пример 8. Проинтегрируем уравнение Клеро .

Введем параметр : . Найдем полный дифференциал от обеих частей равенства: . Заменим  на  (поскольку ), после этого уравнение примет вид . Следовательно,  или 

В случае  из равенства  получим особое решение уравнения Клеро: .

Если же , то p=c=const и . Последнее равенство, задающее семейство прямых, является общим решением исходного уравнения.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА

1. Если дифференциальное уравнение порядка  имеет вид , т.е. не содержит искомой функции и ее производных до  порядка  включительно, то порядок уравнения может быть понижен с помощью подстановки .

Пример 9. Проинтегрируем уравнение .

Уравнение не содержит переменной y. Полагая  (при этом ), получаем уравнение Клеро , оно имеет общее решение  и особое решение  (см. пример 8).

Возвратимся к переменной y в формуле общего решения: , и в формуле особого решения: . Проинтегрировав последние равенства, получим общее решение исходного уравнения  и его особое решение .

Пример 10. Найдем решения уравнения .

Уравнение не содержит y и y¢ , поэтому порядок уравнения понижается до первого с помощью замены  (при этом ). После замены уравнение принимает вид , т.е. становится линейным уравнением первого порядка. Выпишем его общее решение: .

Возвратимся к исходной переменной: . Два раза проинтегрировав последнее выражение, найдем общее решение исходного уравнения:

 или , тогда

, отсюда .

 Решая дифференциальные уравнения, полезно помнить, что общее решение уравнения n-го порядка содержит n произвольных постоянных. В примере 10 проинтегрировано уравнение третьего порядка, его общее решение содержит три произвольные константы.

2. Если уравнение не содержит независимой переменной, т.е. имеет вид , то порядок уравнения понижается на единицу с помощью замены . При этом y рассматривается как новая независимая переменная, а p - как новая неизвестная функция, производные  выражаются через p и производные функции p по y.

Выразим, например, . Поскольку , то

.

Аналогично выражается .

Пример 11. Найдем решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .

Примем y за новую независимую переменную, а   - за новую неизвестную функцию. Тогда  и данное уравнение в новых переменных примет вид . В последнем уравнении переменные разделяются: , и после интегрирования получаем: .

Произвольную константу с определяем, используя начальные условия , . Подставляя эти условия в найденное решение, получаем: с=0. Поэтому , или , т.е. .

Заметим, что данным начальным условиям может удовлетворять только решение уравнения  (в случае  если , то ).

Общее решение уравнения   дается формулой . Из условия   следует, что , и искомым решением будет .

3. Порядок уравнения легко понижается, если удается преобразовать уравнение к такому виду, чтобы обе его части являлись производными от некоторых функций.

Пример  12. Заметим, что уравнение  может быть записано в виде . Если равны производные, то функции могут отличаться только на константу, Значит, . Мы получили уравнение первого порядка, которое легко интегрируется.


Солнечная энергетика в России http://sobitel.ru
Сборник задач с решениями по математике