Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

Линейные уравнения и уравнения Бернулли.

Уравнение вида  называется линейным. Чтобы решить это уравнение, необходимо сначала решить соответствующее ему однородное уравнение  , затем заменить в полученном решении произвольную постоянную с на неизвестную функцию c(x) (варьировать константу), и в таком виде искать решение неоднородного уравнения. Данный метод называется методом вариации.

Пример 4. .

Данное уравнение – линейное. Решим сначала соответствующее однородное уравнение . Разделяя переменные и интегрируя, получаем общее решение однородного уравнения .

Будем искать решение неоднородного уравнения в виде . Подставим это выражение в исходное уравнение: . Отсюда получим  и, следовательно, , где  - произвольная константа. Подставляя c(x) в выражение для y, получаем общее решение данного уравнения: .

Иногда уравнение становится линейным, если x считать неизвестной функцией, а y - независимой переменной.

Пример 5. Уравнение  не линейно относительно  y, но линейно относительно x, поскольку оно может быть записано в виде .

Линейное уравнение решают и с помощью подстановки  (метод Бернулли), где u и v - неизвестные функции, зависящие от x, одна из которых может быть выбрана произвольно. В качестве произвольной функции удобно взять решение соответствующего однородного уравнения.

Уравнение вида  (, ) называется уравнением Бернулли. Оно приводится к линейному с помощью замены . Однако удобнее решать это уравнение методом вариации или методом Бернулли, не приводя его к линейному.

Пример 6. Найдем решение задачи Коши  для уравнения .

Пусть , тогда , и уравнение примет вид . Будем искать функцию v как какое-либо решение однородного уравнения . Например, можно положить . Тогда, очевидно, функция u должна удовлетворять уравнению . Разделяя в последнем уравнении переменные и интегрируя, получим: . Отсюда находим общее решение исходного уравнения , или .

Заметим, что  тоже будет решением уравнения (разделяя переменные в однородном уравнении, необходимо рассмотреть отдельно случай ).

Подставляя в общее решение начальные данные , находим . И искомым решением задачи Коши будет решение .

4. Уравнения в полных дифференциалах.

Уравнение вида  называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции , т.е. , а т.к.  то отсюда следует, что ,

Для существования функции   с указанными свойствами необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

при любых .

Чтобы решить уравнение в полных дифференциалах, достаточно найти функцию . Поскольку уравнение имеет вид 0, его общим решением будет семейство функций =с, где с - произвольная постоянная.

Функцию  можно найти с помощью криволинейного интеграла  (интеграл берется по любому пути L от некоторой точки   до точки , поскольку если функция  существует, то интеграл не зависит от формы пути интегрирования). Однако на практике  можно найти более простым способом.

Из равенства  следует, что , где  - произвольная функция от переменной . Используя равенство , получаем:  . Из последнего уравнения находим , а следовательно, и .

Пример 7. Решим уравнение .

Здесь , . Условие  выполнено, поэтому уравнение является уравнением в полных дифференциалах, т.е. существует функция  такая, что выполнены равенства , .

Интегрируя  по x, имеем: , или . Дифференцируя полученное выражение по y и приравнивая его к , находим: . Следовательно, можно положить , а выражение  дает общее решение уравнения.


Cборочные единицы http://1c-metod.ru/
Сборник задач с решениями по математике