Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

 Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее независимую переменную x, неизвестную функцию y и ее производные :

 . (1)

 Порядок старшей производной, входящей в уравнение (1), называется порядком уравнения. Функция , обращающая уравнение (1) в тождество, называется решением уравнения (1). Процесс нахождения всех решений (1) называется интегрированием уравнения.

 Задача нахождения решения, удовлетворяющего некоторому начальному условию

 , ..., , (2)

называется задачей Коши (или начальной задачей).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ

 Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной, могут быть записаны в так называемой нормальной форме

   (или ) (3)

или в симметричной форме

 . (4)

 Задача Коши  для уравнения (3) означает, что требуется найти решение уравнения, удовлетворяющее условию:  при .

 Чтобы гарантировать существование и единственность решения задачи Коши в любой точке области D, достаточно (согласно теореме Пикара) предположить непрерывность  в области D, а также существование и непрерывность (или ограниченность) частной производной  в области D.

 Функция , определенная в некоторой области изменения переменных x и c и имеющая непрерывные частные производные по x, называется общим решением уравнения (3) в заданной области D изменения переменных x и y, если: во-первых, равенство  разрешимо относительно произвольной постоянной c: , и во-вторых, функция  является решением (3) при всех значениях произвольной постоянной c, доставляемых формулой , когда .

 Решение, в каждой точке которого выполнено условие единственности решения задачи Коши, называется частным решением.  Частное решение может быть получено из формулы общего решения при различных значениях произвольной постоянной c.

 Решение, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым решением.

 Приведем основные типы интегрируемых уравнений первого порядка и методы их решения.

Уравнения  с разделяющимися переменными.

Уравнениями с разделяющимися переменными называются уравнения, которые могут быть представлены в виде

или в виде

.

Для решения уравнения его преобразовывают таким образом, чтобы «переменные разделились»: в одну часть уравнения входили только выражения, содержащие x, а в другую - содержащие только y, затем интегрируют обе части равенства.

При делении обеих частей равенства на выражения, содержащие неизвестные, могут быть потеряны решения, обращающие эти выражения в 0. Такие случаи следует рассмотреть отдельно.

Пример 1. Найдем все решения уравнения .

 Преобразуем уравнение к виду . Поделим обе части уравнения на , предполагая, что  (случаи  и  ниже рассмотрим отдельно): . Переменные разделены, интегрируем обе части уравнения:  (здесь удобно представить произвольную константу в таком виде). Последнее равенство доставляет общее решение исходного уравнения. При  это решение можно записать в виде .

Подставляя непосредственно в исходное уравнение выражения  и , убеждаемся, что  и  - тоже решения уравнения.

 Уравнение вида   приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой .

 Пример 2. Найдем решения уравнения .

После замены  (при этом ) исходное уравнение перейдет в уравнение с разделяющимися переменными , которое легко интегрируется.

2. Однородные уравнения.

Дифференциальные уравнения, которые могут быть записаны в виде

или в виде

,

где  и  - однородные функции одной и той же степени k, называются однородными.

С помощью подстановки   (при этом ) однородные уравнения приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными.

 Пример 3. .

Уравнение является однородным, поскольку представляется в виде . Положим  (тогда ), и уравнение примет вид . Разделим переменные: . Интегрируя, найдем общее решение , или (если   и . В исходных переменных общее решение имеет вид   ().

Преобразовывая уравнение, мы делили на x и . Поэтому необходимо проверить, не будут ли решениями функции  и  (т.е. ), где k - любое целое число. Подставляя в исходное уравнение , мы не получим тождества, поэтому  - не решение. (Заметим, что выражение вида  и не может быть решением уравнения, в которое входит , поскольку существование производной предполагает вариацию независимой переменной x.) Подставляя , получаем тождество при любом целом k, поэтому эти функции являются решениями исходного уравнения.

Уравнение вида , где , приводится к однородному с помощью замены , , где  - новые переменные, а - точка пересечения прямых  и .


Вычисление производной Выполнение курсовых
Сборник задач с решениями по математике