Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

Частные производные высших порядков

Если функция  имеет частную производную по одной из переменных, то эта производная сама, являясь функцией от , может в свою очередь, иметь частные производные по той же или по другой переменной. Для исходной функции   эти производные называются частными производными второго порядка и обозначаются

 или ,

 или ,

 или .

Аналогично определяются частные производные более высокого порядка. Частные производные высшего порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными.

Теорема.  Если в некоторой окрестности точки  у функции  существуют производные  и  при этом смешанные производные  и  непрерывны в точке , то .

Пример. Доказать, что функция   удовлетворяет соотношению

.

Р е ш е н и е

Находим частные производные

Подставляя в левую часть проверяемого соотношения, получим

Равенство доказано.


Сборник задач с решениями по математике