Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

Функции нескольких переменных

Основные понятия

Определение. Если каждому  из некоторого множества  соответствует одно вполне определённое значение переменной величины , то говорят, что задана функция нескольких переменных

Переменные  называются независимыми переменными или аргументами,  — зависимой переменной. Множество  называется областью определения функции.

Пример 1. Найти область определения функции .

Р е ш е н и е

Дробь имеет смысл, если знаменатель её отличен от нуля, то есть

.

Область определения данной функции есть множество точек плоскости , кроме точек прямой .

Пример 2. Найти область определения функции

.

Р е ш е н и е

Функция принимает действительные значения при , удовлетворяющих системе

, или .

Первому неравенству удовлетворяют координаты точек, лежащих внутри окружности  и на самой этой окружности. Второму неравенству удовлетворяют координаты точек, лежащие внутри параболы . Область определения функции удобно изобразить на рисунке 21.

 


Рис. 21

Графиком функции двух переменных   называется множество точек трёхмерного пространства , где .

График функции  есть некоторая поверхность трёхмерного пространства. Построение графиков функции двух переменных в большинстве случаев представляет значительные трудности.

График функции уже трёх переменных мы не можем наглядно изобразить или представить себе.

Поэтому для изучения поведения функции используют другие приёмы и понятия. Важнейшими из них являются линии уровня.

Определение. Линией уровня функции двух переменных  называется множество точек плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции постоянно и равно .

,

где число  называется уровнем.

Известным примером линий второго уровня являются параллели и меридианы на глобусе. Это линии уровня функций широты и долготы. Синоптики публикуют карты с изображением изотерм — линий уровня температуры.

Пример. Для функции   построить линии уровня.

Р е ш е н и е

Рассмотрим , тогда .

Линии уровня для данной функции — концентрические окружности

.


Сборник задач с решениями по математике