Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

Несобственные интегралы

При изучении определённого интеграла   мы предполагали, что отрезок  — конечный, а подынтегральная функция  — ограниченная. Если хотя бы одно из этих условий нарушается, то мы приходим к обобщению понятия определённого интеграла, которым является несобственный интеграл.

Символы  служат для обозначения определённых интегралов I рода или интегралов с бесконечными пределами.

По определению полагают

 (1)

Если существуют конечные пределы, стоящие в правых частях этих равенств, то несобственные интегралы называются сходящимися. Если эти пределы не существуют или равны бесконечности, то интегралы называются расходящимися.

Символ  служит для обозначения несобственных интегралов II рода, если подынтегральная функция в какой-либо точке области интегрирования имеет разрыв. Разрыв функции может быть в начальной точке области интегрирования или в конечной её точке, или, наконец, в какой-либо промежуточной точке.

По определению, если функция имеет разрыв в точке , то

 где .

Если функция имеет разрыв в точке , то

 где . (2)

Если же функция имеет разрыв в точке , , то

,

где .

Так же, как и в случае несобственных интегралов I рода, если существуют конечные пределы, записанные в правых частях этих равенств, несобственные интегралы второго рода называются сходящимися, в противном случае — расходящимися.

Пример 1. Вычислить или доказать расходимость интеграла

.

Р е ш е н и е

По определению несобственного интеграла I рода имеем:

.

Интеграл сходится.

Пример 2. Вычислить или доказать расходимость интеграла

Р е ш е н и е

.

Интеграл расходится.

Пример 3. Вычислить .

Р е ш е н и е

В точке  подынтегральная функция имеет разрыв. Данный интеграл является несобственным интегралом II рода, поэтому

.

Интеграл расходится.


Сборник задач с решениями по математике