Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

Сложные и обратные функции

Если  есть функция переменной , определённая на множестве   с областью значений , а переменная  в свою очередь есть функция   аргумента  на множестве  со значениями во множестве , то  называется сложной функцией аргумента .

.

Пример.  — сложная функция, так как её можно представить в виде , где .

Пусть  есть функция, определённая на множестве  со значениями во множестве .

Поставим в соответствие каждому  единственное значение  (если это возможно), причём .

Полученная функция называется обратной функцией для функции  и обозначается  (или в привычном виде ).

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Пример. Функция  задана на множестве . Обратная функция имеет вид:  (рис. 5).

Рис. 5

Рассмотрим примеры решения задач.

Пример 1. Исследовать на чётность и нечётность функции:

  а) ,

 б) .

Р е ш е н и е

а) Область определения функции   есть множество, симметричное относительно начала координат. Для любого  из

 

поэтому  — чётная функция.

б) В этом случае также  и для любого  из .

Так как  и , поэтому  — функция общего вида.

Пример 2. Доказать, что функция  не является периодической.

Р е ш е н и е

Пусть  является периодической функцией и пусть  её наименьший положительный период. Тогда

или

Отсюда . Полученное противоречие доказывает, что функция  — не является периодической.

Пример 3. Доказать, что функция является периодической и найти её период.

Р е ш е н и е

Функция  является периодической с периодом ; функция  является периодической с периодом .

Функция  определена на всей числовой прямой  и является периодической. Её периодом является , так как 6 является наименьшим числом, при делении которого на  и   получаются натуральные числа.

Пример 4. Исследовать на монотонность функцию

Р е ш е н и е

Функция определена на всей числовой прямой. Для любых и таких, что

.

Следовательно,  и  — возрастающая функция на .

Пример 5. Доказать, что функция   ограничена на всём множестве .

Р е ш е н и е

Так как  для всех , то  ограничена на множестве .


Информационные угрозы http://ruos.ru/
Сборник задач с решениями по математике