Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

Определённый интеграл и его вычисление

Рассмотрим одно из определений определённого интеграла.

Пусть функция  задана на отрезке  и имеет на нём первообразную .

Определение. Разность  называют определённым интегралом функции  по отрезку  и обозначают

. (1)

Здесь  называют нижним пределом интегрирования,  — верхним пределом.

Функция , стоящая под знаком интеграла, предполагается непрерывной на .

Формулу (1) можно записать в виде:

. (1¢)

Формула (1¢) называется формулой Ньютона — Лейбница. Она устанавливает связь между неопределённым и определённым интегралами.

Определённый интеграл есть число. Числовое значение определённого интеграла зависит от вида функции , стоящей под знаком интеграла, и от значений верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Пример 1. Вычислить .

Р е ш е н и е

.

При вычислении определённого интеграла удобно пользоваться следующим правилом:

Сначала находят неопределённый интеграл данной функции.

Затем берётся функциональная часть неопределённого интеграла, то есть , и в неё вместо  подставляется сначала верхний предел , потом нижний  и из первого результата подстановки вычитается второй.

Пример 2. Вычислить .

Р е ш е н и е

Находим неопределённый интеграл

.

Далее по формуле (1) имеем:

.

Основными методами вычисления определённого интеграла являются метод подстановки (замены переменной) и метод интегрирования по частям, известные по изучению неопределённого интеграла.

А) Метод подстановки

Сущность метода состоит в замене переменной интегрирования другой переменной, связанной с ней какими-либо функциональными соотношениями.

При использовании этого метода для вычисления неопределённых интегралов по окончании операции надо было возвращаться снова к первоначальной переменной, что вызывало иногда довольно большие трудности. Здесь такое возвращение не обязательно и заменяется изменением пределов интегрирования по новой переменной.

Пример 3. Вычислить интеграл .

Р е ш е н и е

Введём новую переменную , положив  (вспомни интегрирование иррациональных функций). Тогда .

Найдём пределы интегрирования для новой переменной :

Заменяя переменную в определённом интеграле, получим:

Пример 4. Вычислить интеграл .

Р е ш е н и е

Воспользуемся заменой переменной:

, тогда .

Если , то , если , то .

Выполняя замену, получаем

.

Б) Метод интегрирования по частям

При вычислении определённого интеграла будем пользоваться формулой интегрирования по частям в виде

.

Пример 5. Вычислить интеграл

.

Р е ш е н и е

Положим

Тогда

.


Сборник задач с решениями по математике