Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

Интегрирование некоторых видов иррациональностей

При интегрировании иррациональных функций основная задача заключается в выборе такой подстановки, которая данное подынтегральное выражение преобразует в рациональное, то есть рационализирует его.

Пусть  — рациональная функция от  и , то есть функция, полученная из  и  с помощью конечного числа арифметических операций.

Рассмотрим интеграл вида

.

Этот интеграл рационализируется с помощью подстановки .

Пример 1. Вычислить интеграл

.

Р е ш е н и е

Под знаком интеграла содержатся корни с разными показателями, но с одним и тем же подкоренным выражением. Наименьшее общее кратное показателей корней равно 6, поэтому используем подстановку . Отсюда .

Заменяя переменную в интеграле, получим:

Рассмотренный интеграл является частным случаем интеграла

.

Пусть , тогда интеграл сведётся к интегралу от рациональной функции.

В общем случае интеграл имеет вид:

,

где  — рациональные числа.

Находим общий знаменатель  дробей  и используем подстановку .

Пример 2. Вычислить интеграл

.

Р е ш е н и е

Используем подстановку (см. пример 1) , тогда

Подставляя в заданный интеграл, получим

Интегрирование
тригонометрических функций

Рассмотрим интегралы вида: , где  — рациональная функция от  и .

Такие интегралы всегда рационализируются с помощью универсальной подстановки

Здесь 

 .

Пример 1. Вычислить интеграл .

Р е ш е н и е

Воспользуемся универсальной подстановкой . Имеем:

Заменив переменную, вычислим интеграл.

Универсальная подстановка во многих случаях приводит к громоздким выкладкам, поэтому рассмотрим некоторые частные подстановки, упрощающие вычисления.

1) Подынтегральная функция является нечётной относительно , то есть  В этом случае используется подстановка .

2) Подынтегральная функция является нечётной относительно , то есть  В этом случае используется подстановка .

3) Если подынтегральная функция зависит нечётным образом и от , и от , то можно использовать подстановки или  или .

4) Если подынтегральная функция зависит чётным образом и от , и от , тогда используем подстановку . Отсюда

;

Пример 2. Вычислить интеграл .

Р е ш е н и е

В данном случае имеем:

Воспользуемся подстановкой , откуда .

Имеем:

Пример 3. Вычислить интеграл

.

Р е ш е н и е

Подынтегральная функция чётным образом зависит и от , и от , поэтому применяем подстановку .

Разделим числитель и знаменатель дроби на  и введём под знак дифференциала множитель .

В итоге получим:

Пример 4. Вычислить интеграл .

Р е ш е н и е

Для вычисления интеграла воспользуемся формулой

.

Получим:

.


Сборник задач с решениями по математике