Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

Интегрирование некоторых классов функций

Интегрирование рациональных функций

Рассмотрим рациональную функцию , где  — многочлен степени ,  — многочлен степени .

Если , то есть дробь неправильная, то её можно представить в виде

Здесь  — правильная дробь.

Правильная дробь может быть разложена на простейшие дроби.

Существуют простейшие дроби четырёх типов:

1.  

2.

3.

4.

 — действительные числа; квадратный трёхчлен  не имеет действительных корней, к = натуральное число.

Необходимо научиться интегрировать простейшие дроби четырёх типов.

Задание. Самостоятельно изучить интегрирование простейших дробей по учебникам, указанным в списке литературы.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Р е ш е н и е

Заметим, что числитель отличается от производной знаменателя, равной , постоянным множителем 5, поэтому

.

Пример 2 Вычислить интеграл .

Р е ш е н и е

Перепишем интеграл в виде:

.

Сделаем замену переменной.

Пусть , тогда .

Имеем:

.

Пример 3.Вычислить интеграл .

Р е ш е н и е

Разложим подынтегральную дробь на простейшие.

.

Найдём числа  с помощью метода неопределённых коэффициентов. Приведём правую часть последнего равенства к общему знаменателю.

.

Освобождаясь от знаменателей, получим:

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях  в обеих частях равенства, получим систему уравнений для определения коэффициентов

Таким образом, мы получили разложение рациональной дроби на простейшие

.

Интегрируя, получим:


Сборник задач с решениями по математике