Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод замены переменной является одним из основных методов интегрирования.

Пример 1. Вычислить интеграл.

Р е ш е н и е

Выполним подстановку , тогда , откуда .

Заданный интеграл преобразуется теперь к табличному

.

Возвращаясь к первоначальной переменной , получим

Пример 2. Вычислите интеграл .

Р е ш е н и е

Сделаем подстановку , тогда .

Интеграл примет вид

.

При решении этой задачи можно рассуждать иначе. Введём множитель  под знак дифференциала, тогда получим

.

Пример 3. Вычислить интеграл

Р е ш е н и е

Запишем интеграл в виде , тогда удобно сделать замену .

Интеграл примет вид

.

Замечание 1.

Пусть , тогда

.

Будем использовать этот результат в дальнейших вычислениях

.

Например:

.

.

Замечание 2.

Если подынтегральное выражение содержит , то удобно применить подстановку  или подстановку .

Если подынтегральное выражение содержит , то удобно применить подстановку  или подстановку .

Если подынтегральное выражение содержит , то удобно применить подстановку  или подстановку .

Пример 4. Вычислить интеграл .

Р е ш е н и е

Так как под интегралом есть радикал , то сделаем подстановку ; откуда .

Имеем:

.

.


Сборник задач с решениями по математике