Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

Неопределённый интеграл

Определение. Функция   называется первообразной для  на некотором промежутке , если для всех

.

Теорема. Если  и  — первообразные для функции  в , то найдется такое число , что справедливо равенство

.

Из теоремы следует, что, если   — первообразная для функции , то  задает все возможные первообразные для .

Определение. Множество всех первообразных для функции  на промежутке  называется неопределённым интегралом для  и обозначается , то есть , где  — произвольная постоянная.

Вычислить неопределённый интеграл — это значит найти множество всех первообразных для подынтегральной функции.

Основные свойства неопределённого интеграла

1. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению.

2. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции.

3. Неопределённый интеграл от производной некоторой функции равен этой функции, сложенной с некоторой произвольной постоянной.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла.

5. Неопределённый интеграл алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов слагаемых.

Таблица интегралов

.

.

Метод непосредственного интегрирования

Этот метод интегрирования опирается на таблицу основных интегралов и простейшие правила интегрирования.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Р е ш е н и е

Разделим почленно числитель подынтегральной функции на знаменатель. Применяя свойства интегралов и таблицу интегралов, получим:

.

Пример 2. Вычислить интеграл .

Р е ш е н и е

Возводим числитель в куб и делим почленно на знаменатель. Имеем:

Пример 3. Вычислить интеграл .

Р е ш е н и е

Освободившись от иррациональности в знаменателе, получим:

Пример 4. Вычислить интеграл .

Р е ш е н и е

Запишем единицу, стоящую в числителе, как тригонометрическую. Разделив почленно числитель на знаменатель, получим:


Кабельные системы для локальных сетей http://fishelp.ru/
Сборник задач с решениями по математике