Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

Алгоритм исследования функции на выпуклость и точки перегиба

1. Найти вторую производную функции .

2. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.

3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба. Если вторая производная будет менять свой знак с плюса на минус или с минуса на плюс в исследуемой точке, то эта точка будет точкой перегиба. Если вторая производная знака не меняет, то точек перегиба нет.

Найти значения функции в точках перегиба.

Пример 1. Исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба:

1) ;

2) .

Р е ш е н и е

1) Найдём вторую производную функции:

;

Так как вторая производная имеет положительное значение при любых значениях аргумента x, то это означает, что кривая всюду выпукла вниз. Следовательно, точек перегиба нет.

2) Найдём вторую производную функции:

Решая уравнение 6x = 0, находим, что x = 0. Легко видеть, что при переходе через точку x = 0 вторая производная меняет знак. Следовательно, при x =0 получим точку перегиба.

Подставляя в функцию  значение x = 0, найдём ординату точки перегиба .

Получаем точку .

Так как вторая производная меняет знак с минуса на плюс, то левее точки перегиба — кривая выпукла вверх, а правее точки перегиба — кривая выпукла вниз.

Асимптоты графика функции

Определение. Асимптотой графика функции  называется прямая такая, что расстояние от точки  до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Асимптоты бывают вертикальные, горизонтальные и наклонные.

1. Вертикальные асимптоты

Пусть функция  определена хотя бы в одной полуокрестности  или  точки , за исключением, возможно, самой точки .

При этом в точке  хотя бы один из односторонних пределов  или  равен бесконечности, то есть   или .

Тогда прямая  есть вертикальная асимптота графика функции . Если в точке  функция непрерывна, то здесь не может быть вертикальной асимптоты. Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции   или на концах области её определения , если a и b — конечные числа.

2. Горизонтальные асимптоты

Пусть функция  определена при достаточно больших x и существует конечный предел функции .

Тогда прямая  есть горизонтальная асимптота графика функции .

Замечание. Если конечным является только один из пределов

 или ,

то функция имеет лишь левостороннюю  или правостороннюю   горизонтальную асимптоту.

3. Наклонные асимптоты

Прямая  является наклонной асимптотой графика функции , если существуют конечные пределы

 и .

Наклонная асимптота, так же, как и горизонтальная, может быть правосторонней или левосторонней.


По аксонометрическому изображению вычертить две проекции
Сборник задач с решениями по математике