Векторная алгебра Вычислить интеграл Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных Найти дифференциал функции Вычисление площадей плоских фигур Вычислить криволинейный интеграл Методы интегрирования

Примеры решения задач по математике

Функциональная зависимость

Понятие функции. Основные свойства функций

Понятие функции является одним из основных понятий математического анализа.

Определение. Если каждому элементу  множества  поставлен в соответствие по некоторому правилу или закону определённый элемент  множества , то говорят, что на множестве  задана функция  со значениями во множестве   и записывают .

В этом случае  называется независимой переменной или аргументом,  — зависимой переменной.

Множество  называют областью определения функции, а множество  — областью значений функции.

Определение. Областью определения функции называется множество всех значений аргумента, при которых функция имеет смысл.

Пример 1. Найти область определения функции .

Р е ш е н и е

Функция определена, если , то есть если .

Следовательно, .

Пример 2. Найти область определения функции

.

Р е ш е н и е

Корни чётной степени определены только для неотрицательных чисел, но этот корень находится в знаменателе дроби, поэтому все значения переменной  будут удовлетворять неравенству:

,

Решаем неравенство методом интервалов (рис. 1):

Рис. 1

.

Пример 3. Найти область определения функции

.

Р е ш е н и е

Функция  определена в тех точках, в которых . Функция  определена для всех значений , удовлетворяющих неравенству

.

Поэтому область определения функции найдём из системы

Решением первого неравенства будут . Решаем второе неравенство:

Решением системы будет пересечение решений входящих в неё неравенств (рис. 2):

Рис. 2

.

Рассмотрим основные свойства функций.

1. Ограниченность функций

Определение. Функция , определённая на множестве , называется ограниченной, если для всех  из множества  существует такое положительное число , что .

Пример. Функции  ограничены на всей числовой прямой, так как .

Определение. Функция  называется неограниченной на множестве , если каково бы ни было число , найдутся такие   из множества , что .

Пример. Функция  неограничена на .

2. Чётность и нечётность функций

Будем рассматривать симметричные относительно начала координат множества, то есть такие множества, которые наряду с  содержат .

Определение. Функция , заданная на симметричном множестве, называется чётной, если для любых  области определения функции  выполняется равенство . Функция называется нечётной, если .

Примеры: 1)  — чётные функции;

2)  — нечётные функции.

Из определений чётной и нечётной функций следует, что график чётной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Заметим, что не всякая функция является четной или нечетной. Например, функция  не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

3. Периодичность функций

Определение. Функция , определённая на некотором множестве , называется периодической с периодом , если для любых  из  выполняется условие .

Если T — период функции, то , где , также период функции. Следовательно, всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. Под периодом функции обычно понимают наименьший положительный период.

Пример.

Функции  имеют период .

4. Монотонность функций

Определение 1. Функция  называется возрастающей на множестве , если для любых   и таких, что  выполняется , то есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции (рис. 3).

Определение 2. Функция  называется убывающей на множестве , если для любых   и таких, что  выполняется , то есть большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (рис. 4).

Рис. 3.

Рис. 4

Функция только возрастающая или только убывающая на данном множестве называется монотонной на этом множестве.


Контрольная работа по математике Задачи на интеграл
Сборник задач с решениями по математике