Пуассоновский поток Дифференцирование | Интегрирование | Применение интегралов | Вычисление интегралов | Неопределенный интеграл | На главную Классы С++

Определенные интегралы | Степенные ряды | Комплексные числа | Матрицы | Предел функции Найдём дифференциал функции трёх переменных Цветовые заливки, обводки, внешний облик, стили и эффекты Тройной интеграл в цилиндрических координатах

Ряды в пространстве Двойной интеграл

Продолжение 2 из 2. 1.7.4. Лемма К. Жордана в комплексном пространстве

,

,

для третьего интеграла ,

.

Подставим замену переменных в интегралы и возьмем предел при стремлении радиуса поверхности , окружающего изолированную точку к нулю.проведем алгебраические операции под знаками интеграла и перейдем к пределу, получим

Следовательно исходный интеграл равен , однако с учетом, что вычеты изолированных точек взяты также дважды, окончательно будем иметь

Результат расчета совпадает с предыдущим вычислением.

Проведенные исследования показали, что в пространстве удалось реализовать теорию вычетов для поверхностных интегралов.

Пример Вычислить интеграл , где -поверхность сферы радиуса . - действительные числа.

Подынтегральная функция нерегулярна в двух точках , находящихся на действительной оси пространства. Эти точки являются полюсами второго порядка. В соответствии с комплексной алгеброй в пространстве имеются еще две точки , в которых функция нерегулярна. Для нахождения этих точек решаем квадратное уравнение . , где .Таким образом , знаменатель подынтегральной функции можно представить как произведение четырех линейных множителей.

.

.

Поверхность ,натянутая на сферу радиуса , заключает в себе область , в которой находятся изолированные точки , так как и

Построим сферы с центрами в точках достаточно малых радиусов таких, чтобы сферы не пересекались и целиком лежали в сфере . В пятисвязной области , ограниченной сферами и сферой подынтегральная функция всюду аналитична. По теореме Коши для многосвязной области

. Вычислим интегралы стоящие в правой части равенства. Рассмотрим первый интеграл. Произведем замену переменной . В дальнейшем также будем иметь в виду следующие равенства.. Преобразуем интеграл

Произведя сокращения и беря предел при , получим .

Во втором интеграле делаем замену переменной и учитывая равенства , преобразуем интеграл к виду

Проведем сокращения и возьмем предел интеграла при . .

В третьем интеграле делаем замену переменной

Перейдем к пределу при

.

В четвертом интеграле делаем замену переменной

Перейдем к пределу при

. Проведем суммирование тригонометрических функций .

Пример Вычислить интеграл .

Возьмем вспомогательную функцию , равную подынтегральной функции в предыдущем примере. Поверхность интегрирования составим из следующих частей: полусфера верхнего полупространства радиуса , полусферы около изолированных точек , находящиеся в верхнем полупространстве, комплексная плоскость Z. Точки окружим полусферами радиуса .Так, что , где аргументы меняются в пределах . В верхнем полупространстве имеется еще одна особая точка По теореме о вычетах .

Из леммы Жордана видно, что . Сумма вычетов При стремлении радиуса полусфер около точек к нулю ,имеем полную комплексную плоскость Z. Для оценки интегралов около этих полусфер рассмотрим лорановское разложение в окрестности этих точек. Предварительно функцию представим в виде

.

В числителе интерес представляет только второе произведение, лорановское разложение которого имеет вид. .

В результате в изолированной точке рассматриваем функцию , где непрерывная в точке функция. Отсюда вытекает, что интеграл

.

Интеграл около изолированной точки выразится в виде

Оба интеграла не имеют действительной пространственной части и не вносят вклад в вычисление .Интеграл в верхней половине пространства около изолированной точки равен вычету, расчитанному выше в примере. В итоге имеем

Вычислить двойной интеграл , где -поверхность -сферы радиуса .

Решение. Область G , ограниченная данной поверхностью, содержит четыре особые точки второго порядка . Этими особыми точками являются корни квадратного уравнения . которое находится в знаменателе подыинтегральной функции . В соответствии с алгеброй

Комплексного пространстваквадратный многочлен имеет согласно условиям

(1.2) пункта 1.1.2. четыре корня в пространстве и может быть разложен на произведение линейных множителей по двум эквивалентным вариантам

Согласно пункту 1.6 и формуле 1.64 интеграл JJ будет равен сумме вычетов по всем особым точкам подынтегральной функции

В силу единственности разложения в ряд Тейлора и Лорана (пункты и примеры в них 1.4.1,1.4.2) аналитических в выделенной области пространства функций и эквивалентности их разложения на произведение линейных множителей сумма вычетов по изолированным точкам , равна сумме вычетов по изолированным точкам. В результате интеграл в пространстве

Можно вычислить как

Eсли область интегрирования ограничена верхней половиной пространства, так что необходимо вычислить несобственный двойной интеграл

В верхней половине пространства находится одна пространственная особая точка .

Как было показано выше сумма вычетов по особым точкам эквивалентна сумме вычетов по особым точкам , поэтому интеграл будет равен

.

Структура комплексного пространства

8.10. Расчет энергии связи атомных ядер периодической таблицы элементов и их изотопов, исходя из структуры глюонных полей протона и нейтрона.

Вывод формулы энергии связи атомных ядер ранее в главе 6 был проведен на основе модели ядер с циклонными барионными вихрями. Возникновение циклонных вихрей соответствует увеличению связности пространства ядерной материи. Связность пространства соответствует периодичности заложенной в таблице элементов Д.И. Менделеева. Количество изолированных вихрей в атомном ядре определяется соотношением , где Z-заряд атомного ядра, 9-10 - соответствуют периодичности возникновения рядов в таблице элементов. Цилиндрическая и сферическая системы координат Как и на плоскости, в пространстве положение любой точки может быть определено тремя координатами в различных системах координат, отличных от декартовой прямоугольной системы. Цилиндрическая и сферическая системы координат являются обобщением для пространства полярной системы координат, которая была подробно рассмотрена выше.

Основным условием для вывода формулы послужило замыкание -туннелей циклонных вихрей энергией обменного кванта или иначе полевой энергией взаимодействия протонов и нейтронов через эти циклонные туннели. Формула дала высокую сходимость результатов расчета с экспериментальными данными. Исследования устойчивости ядер и расчет мод распада и их высокая сходимость с экспериментальными данными подтвердили принятую модель ядерной материи как многосвязного пространства.

Фундаментальные масс взаимодействия на расстоянии радиуса протона и соответственно нейтрона создают глюонные поля , которые создают дефект масс, реализуемый в пространстве как протон и нейтрон.

Суммарная масса Z протонов и N нейтронов равна

Таким образом, масса ядра состоящая из Z протонов и N нейтронов то есть из A нуклонов будет равна

где

В таблице представлен расчет энергий связей для ядер элементов периодической таблицы элементов и их изотопов. Расчет корректировался по изменению первого весового коэффициента в пределах . Колебания значений этого коэффициента нигде не вышли за пределы значений весового коэффициента протона и нейтрона