| |
1.6. Вычеты в пространстве. Вычисление интегралов с помощью вычетов.
В пространстве имеет место две формулы вычетов:криволинейный и поверхностный. Введем определение вычетов.
Пространственным
криволинейным вычетом функции 
в
точке 
называется
коэффициент 
ряда
Лорана для функции в окрестности точки ,
то есть число, которое обозначается символом 
.
 |
(1.61.) |
Формула следует из формулы для определения
коэффициентов ряда Лорана. Под кривой 
понимаем
кривую типа 
, которая
натянута на сферу радиуса r с проколотым
изолированным направлением радиуса 
,
так что 
. Формула
приводит к вычислению интегралов
 | (1.62.) |
Очевидно, что если точка a точка регулярности функции, либо устранимая особая точка, то вычет равен нулю. Если в разложении функции в ряд Лорана отсутствует с первой отрицательной степенью n=-1, то вычет равен 0.
Поверхностным
вычетом функции 
в
точке a обозначим и назовем число
 , | (1.63.) |
где 
-
поверхность, натянутая на кривую 
без
точек самопересечения, радиус которой равен 
.
Из формул для коэффициентов ряда
Лорана получим 
.
Следовательно двойной интеграл равен
 | (1.64.) |
Вычисление вычета в полюсе простого или
кратного определяется видом ряда Лорана для функции. Если имеем 
,
откуда находим
,
так что 
, а
также 
, так
что 
.
Если ряд Лорана имеет вид
то
функция в окрестности точки 
имеет
полюс кратности n. Умножая это разложение на 
,
дифференцируя n-1 раз и затем переходя к пределу при 
получим
выражение
 | (1.65.) |
По той же схеме получим
 | (1.66.) |
Пример. Определить вычет функции 
в
точке 
. Функция
разлагается в ряд Лорана в окрестности точки 
в
виде
, где 
Следовательно
. Откуда имеем
,
.
Пример. Пусть 
.
Разложение функции 
в
ряд Тейлора дает представление функции 
в
виде 
Откуда
. Двойной интеграл
Пример. Пусть 
.
Функция имеет полюс первого порядка в точке
и полюс первого порядка в точке 
.Поэтому
по формуле имеем
.
.
Данная функция в пространстве имеет еще две особые точки, которые соответствуют
корням алгебраического уравнения стоящего в знаменателе. Последовательно получим
.Откуда 
.
Следовательно функция представима в следующем виде 
Особые
изолированные пространственные точки позволят вычислить еще два вычета
.
Пример. Рассмотрим функцию 
.
Функция имеет особые точки 
полюс
второго порядка, 
,
полюс второго порядка. Используя формулу для расчета вычетов кратных полюсов будем
последовательно иметь.
Функция имеет также два пространственных полюса второго порядка (см. пример )
.
По формуле вычислим пространственные вычеты
Пример. Пусть дана функция 
.
Используя результаты предыдущего примера, вычислим пространственные вычеты.
Пример . Пусть дана функция 
Определить
пространственные вычеты. Представим функцию в следующем виде 
Используя
результаты предыдущего примера будем иметь
В пространстве 
функция
представима также в виде 
Откуда
будем иметь 
.
Эти выкладки показывают, что пространственный корень 
является
особой точкой первого порядка.
Вычет в бесконечно удаленной точке.
В соответствии
с комплексной пространственной алгебре элемент 
изображается
в сферических координатах в виде 
,
так что бесконечная точка характеризуется бесконечным радиусом модулем 
Точка
ноль определяется в пространстве как это неоднократно утверждалось в виде 
и
произведением 
,
где параметры 
действительные,
а 
.
Если положить 
и
рассматривать функции 
,
тогда функция 
будет
аналитической в некоторой окрестности точки ноль, которая будет особой точкой
того же типа, что и точка 
для
функции 
.
Так
что бесконечная точка есть 
или
на изолированной оси 
Теорема. Пусть функция 
непрерывна
на границе области G поверхности 
,
натянутой без точек самопересечения на пространственную кривую типа 
и
аналитична внутри этой области всюду, кроме конечного числа особых точек 
,
тогда имеем в пространстве Y следующие соотношения
Если точка 
лежит
внутри области G и если точка также
принадлежит этой области, то 
Если внутри области G имеется контур Г или поверхность содержащими
внутри себя особые точки 
,
то справедливы следующие интегральные соотношения
Вычетом функции в бесконечной точке будет число 
,
а также
,
где поверхность натянута
на кривую 
достаточно
большой сферы 
,
которая проходится в обратном направлении. Поэтому вычеты равны
,
где 
есть коэффициенты
перед 
соответственно
в лорановском разложении функции в окрестности бесконечно удаленной точке.
Рис. 30. Связность области в комплексной плоскости.
Рис. 31. Связность области в комплексном пространстве.
В комплексной
плоскости Z теорема о вычетах соответствовала Рис. 30, где область G находится
между границей
,
где 
и Г, состоящей
из конечного числа ограниченных кусочно гладких кривых 
,
где 
В
комплексном пространстве Y рассматривается сфера с поверхностью, натянутой на
бесконечно большой радиус .
Особые точки окружены сферами бесконечно малого радиуса 
.
Так как через особую точку проходит изолированное направление, то на границе области
фиксируются проколы поверхности бесконечно малого радиуса. (Рис. 31.)
Пример.
Вычислить интеграл 
,
где поверхность натянута
на сферу 
.
В области 
функция
имеет четыре особые пространственные точки
.
Вычеты во всех особых точках рассчитаны в примере , поэтому в соответствии с теоремой
о вычетах имеем
Пример . Вычислить интеграл по поверхности натянутой на 
.
Пространственные вычеты согласно примера для данной функции равны 
.
В соответствии с теоремой о вычетах будем иметь 
В дальнейшем можно произвести выделение первой и второй комплексной части
Интегралы вида 
,
где поверхность натянута
на сферу радиуса 
,
так что переменные 
изменяются
соответственно в пределах 
.
Для сокращения записей введем обозначения 
.
Так, что интеграл перейдет в интеграл 
.
На поверхности сферы имеем 
и
введенные переменные могут быть записаны через одну переменную в
комплексном виде
,
.
Элемент площади 
выразится
как произведение 
,
откуда получаем 
и
в силу 
будем
иметь 
. Исходный
интеграл сводится к вычислению двойного интеграла по поверхности 
,
где 
-есть
рациональная функция от .
Тогда по теореме о вычетах
,
где 
-
все полюсы рациональной функции 
,
лежащие в сфере 
.
Пример . Вычислить интеграл 
Преобразуем
знаменатель. 
.
Подставляя полученные выражения в исходный интеграл, будем иметь
Знаменатель имеет корни
.
Первый корень при 
является
особой точкой подынтегральной функции –полюсом второго порядка.
Знаменатель
имеет два пространственных корня 
.
Пространственные корни при 
имеют
модуль 
и не
являются особыми точками подъинтегральной функцией. Если принять 
,
то 
где
. При тех же
условиях
.
Поэтому согласно теореме о вычетах имеем 
.
Окончательно интеграл равен
Подынтегральную функцию преобразуем на сумму первых комплексных функций. Для
этого обозначим 
и
подставим в подынтегральную функцию
Следовательно
первая комплексная часть равна 
,
вторая комплексная часть равна
,
В результате имеем расчет двух двойных интегралов
1.7.2. Интеграл от рациональных функций.
Пусть
,
где 
и 
есть многочлены степени n и m
соответственно
Сходимость
интеграла от функции 
обеспечивается
соотношением степеней многочленов как 
.
В соответствии с пространственной комплексной алгеброй многочлен знаменателя разложим
на произведение квадратных трехчленов, как минимальных по степени многочленов,
содержащих два вида корней: два корня в плоскости (z)
два корня в пространстве (
.
Уравнение
кривой в полярной системе координат Уравнение кривой в полярной системе координат
имеет вид: . Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат,
определит тип кривой, найти фокусы и эксцентриситет. Схематично построить кривую.
При вычислении интегралов в пространстве необходимо соблюдать условия , которые обеспечивают эквивалентные разложения подынтегральной функции в области ее определения. Нахождение критических точек в пространстве зависит от области определения функции и возможности ее разложения на эквивалентные разложения. Например, если функция определена в полном пространстве , то можно не использовать эквивалентные разложения. Если функция определена только в верхнем или только в нижнем полупространстве то нет условий для эквивалентных разложений. В первом случае условия есть , но ими можно не пользоваться, во втором случае их вообще нельзя применить. Если из полного пространства вычтена плоскость Z, то критические точки определяются из условия существования делителей нуля. Возможно существование областей, в которых содержатся не все критические точки , характеризующие эквивалентные разложения.
Неопределенный интегралВекторное
произведение векторов
|