Пуассоновский поток Дифференцирование | Интегрирование | Применение интегралов | Вычисление интегралов | Неопределенный интеграл | На главную Классы С++

Определенные интегралы | Степенные ряды | Комплексные числа | Матрицы | Предел функции Найдём дифференциал функции трёх переменных Цветовые заливки, обводки, внешний облик, стили и эффекты Тройной интеграл в цилиндрических координатах

Функции пространственного комплексного переменного

1.2.2.H. Функция аргумент n

Если имеем, то переходя к сферическим координатам получим

,где , , .

(1.40.)

Точка в пространстве определена модулем R и двумя аргументами или четырьмя независимыми переменнымиОднозначное определение точки в пространстве требует равенства четырех независимых переменных:когда

Функцию можно рассматривать как функцию двух комплексов

,

В этом случае функции где

Комплекс представляется в полярных комплексных координатах , где

Аргумент комплексный, а тригонометрические функции также будут комплексными.

Выведем формулу приращения комплексного аргумента на кривой . Определим дифференцеалы

так, что будем иметь, а с учетом тригонометрических функций получим

Рассмотрим интеграл Интеграл определяет разность значений аргумента между конечной и начальными точками на кривой .

.

В пространстве знаменатель подынтегральной функции имеет две особенности : 1) , что равносильно точки с ,фиксирующей начало координат ;

2) , раскрывая это соотношение между модулями комплексов и аргументами получим ,что соотношение выполняется при равенстве .

Полученные соотношения определяют изолированную ось в пространстве .Таким образом , выбрасывая из рассмотрения начало координат необходимо учитывать изолированную ось делителей нуля как особенность в пространстве .Область Д за вычетом этих особенностей является односвязной областью и для каждой кривой имеет место равенство

где и выполняется равенство

Таким образом , если кривые выходят из одной точки и приходят в одну точку ,оставаясь

В области определения, то имеет место равенство .Кривые можно непрерывно деформировать в пространстве .В комплексном пространстве аргументы

имеют комплексную периодичность , так что комплекс имеет вид

где к=0,1,2,….есть целое. Эта периодичность следует из закона извлечения квадратного корня из+1 в пространстве чисел и пространственной кривой

Рассмотрим комплексный аргумент как комплексную функцию в плоскости , где для удобства введены обозначения Функция является аналитической функцией в расширенной плоскости z с выколотыми точками ,которые являются логарифмическими точками ветвления .

.

Условия выделения изолированной оси или иначе говоря конуса делителей нуля выражаемые показывают, что в пространстве имеется логарифмическая ось ветвления. Произведем выделение действительной и мнимой части комплекса . Преобразуя Ln по законам комплексной алгебры Z получим

представляет сумму аргументов числителя и знаменателя

Комплексный аргумент

(1.41.)

При обходе цилиндрической оси комплексный аргумент имеет приращение только по действительной части. Мнимая часть представляет однозначную логарифмическую функцию, приращение которой дает нуль. В вершинах пространственной сферы при при любом r.

и любом r имеем . Действительная часть в вершинах сферы равна

(1.42.)

Ряды в пространстве Двойной интеграл

1.7.2. Интеграл от рациональных функций.

Пусть , где и есть многочлены степени n и m соответственно

Сходимость интеграла от функции обеспечивается соотношением степеней многочленов как . В соответствии с пространственной комплексной алгеброй многочлен знаменателя разложим на произведение квадратных трехчленов, как минимальных по степени многочленов, содержащих два вида корней: два корня в плоскости (z) два корня в пространстве (. Уравнение кривой в полярной системе координат Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид: . Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат, определит тип кривой, найти фокусы и эксцентриситет. Схематично построить кривую.

При вычислении интегралов в пространстве необходимо соблюдать условия , которые обеспечивают эквивалентные разложения подынтегральной функции в области ее определения. Нахождение критических точек в пространстве зависит от области определения функции и возможности ее разложения на эквивалентные разложения. Например, если функция определена в полном пространстве , то можно не использовать эквивалентные разложения. Если функция определена только в верхнем или только в нижнем полупространстве то нет условий для эквивалентных разложений. В первом случае условия есть , но ими можно не пользоваться, во втором случае их вообще нельзя применить. Если из полного пространства вычтена плоскость Z, то критические точки определяются из условия существования делителей нуля. Возможно существование областей, в которых содержатся не все критические точки , характеризующие эквивалентные разложения.