Определенные интегралы | Степенные ряды | Комплексные числа | Матрицы | Предел функции Найдём дифференциал функции трёх переменных Цветовые заливки, обводки, внешний облик, стили и эффекты Тройной интеграл в цилиндрических координатах

Вычисление длин дуг кривых, заданных параметрически

Пример 3. Вычислить длину дуги эллипса

.

  Р е ш е н и е. Перейдем к параметрическому заданию эллипса

, , .

 Дифференцируя по , получаем

;  ,

откуда

,

где — эксцентриситет эллипса, .

  Таким образом,

.

Интеграл  не берется в элементарных функциях: он называется эллиптическим интегралом второю рода. Полагая , приводим интеграл к стандартному виду:

.

где  Е()—обозначение для так называемого полного эллиптического интеграла второго рода.

 Следовательно, для длины дуги эллипса имеет место формула .

  Обычно полагают  и пользуются таблицами функции

.

  Например, если  и , то

.

  По таблице значений эллиптических интегралов второго рода находим .

Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы

Пример 2. Найти площадь астроиды  

Р е ш е н и е. Запишем уравнение астроиды в параметрическом виде ,  , . Здесь тоже удобно вычислить сначала.  Отсюда . Уравнение прямой по точке и вектору нормали В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой  циклоиды ,   и осью .

 Р е ш е н и е. Здесь граница фигуры  состоит из дуги циклоиды  и отрезка  оси  . Применим формулу . Так как на отрезке оси  имеем  то остается вычислить интеграл (с учетом направления обхода  границы):