Пуассоновский поток Дифференцирование | Интегрирование | Применение интегралов | Вычисление интегралов | Неопределенный интеграл | На главную Классы С++
Определенные интегралы | Степенные ряды | Комплексные числа | Матрицы | Предел функции Найдём дифференциал функции трёх переменных Цветовые заливки, обводки, внешний облик, стили и эффекты Тройной интеграл в цилиндрических координатах
 
дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Интегралы - конспект лекций, задачи с решениями

Приближённое нахождение первообразных

Пусть на интервале $ (a;b)$ задана непрерывная функция $ f(x)$ , для которой нужно найти первообразную $ F(x)$ . Согласно определению первообразной, для этого нужно решить уравнение

$\displaystyle F'(x)=f(x),$(1.6)

найдя неизвестную функцию $ F(x)$ . Относительно этой неизвестной функции уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка. Его можно приближённо решать разными способами, которые вы будете изучать в курсе дифференциальных уравнений. Опишем здесь простейший из них, называемый методом Эйлера.

Из всего семейства первообразных $ \{F(x)+C\}$ будем отыскивать ту первообразную, которая в некоторой фиксированной точке $ x_0\in(a;b)$ принимает фиксированное значение $ F(x_0)=y_0$ . Это условие выделяет из семейства первообразных одну функцию: все остальные первообразные $ G(x)=F(x)+C$ отличаются от этой фиксированной первообразной на постоянное слагаемое $ C\ne0$ и, следовательно, не удовлетворяют условию $ G(x_0)=y_0$ .

Заметим, что из уравнения (1.6) следует, что

 

$\displaystyle dF(x_0;dx)=F'(x_0)dx=f(x_0)dx;$

найденный дифференциал равен главной линейной части приращения функции:

$\displaystyle {\Delta}F(x_0;dx)=F(x_0+dx)-F(x_0)\approx dF(x_0;dx)=f(x_0)dx,$

откуда

$\displaystyle F(x_0+dx)\approx F(x_0)+f(x_0)dx=y_0+f(x_0)dx.$

Здесь мы учли начальное условие $ F(x_0)=y_0$ . Тем самым, взяв некоторое приращение независимого переменного $ x$ , равное $ dx\ne0$ , мы сможем приближённо найти значение первообразной $ F(x)$ в "соседней" точке $ x_1=x_0+dx$ :

$\displaystyle F(x_1)\approx y_0+f(x_0)dx.$

Начав аналогичные вычисления с точки $ x_1$ вместо $ x_0$ , получаем

$\displaystyle F(x_2)\approx F(x_1)+f(x_1)dx,$

где $ x_2=x_1+dx=x_0+2dx$ ; затем точно так же получаем

$\displaystyle F(x_3)\approx F(x_2)+f(x_2)dx,$

где $ x_3=x_2+dx=x_0+3dx$ , и т. д. По найденным в известных точках $ {x_1=x_0+dx}$ , $ {x_2=x_0+2dx}$ , $ x_3=x_0+3dx,\dots$ приближённым значениям первообразной $ F(x_1),\ F(x_2),\ F(x_3),\dots$ мы можем построить график функции $ y=F(x)$ (разумеется, приближённо, поскольку значения $ F(x)$ известны лишь приближённо). Выбирая $ dx>0$ , мы построим этот график при $ x\geqslant x_0$ , то есть на $ [x_0;b)$ , а повторив процесс при $ dx<0$ , построим часть графика на $ (a;x_0]$ .

Заметим, что шаг по оси $ x$ , то есть величину $ dx$ , не обязательно выбирать одинаковым на всех этапах: $ dx=h_i$ может зависеть от номера этапа $ i$ . Рекомендуется учитывать при этом выборе поведение функции $ f(x)$ и уменьшать шаг $ h_i$ , если значения $ f(x_i)$ увеличиваются, и увеличивать $ h_i$ , если значения $ f(x_i)$ уменьшаются, чтобы величины приращений $ {\Delta}F_i=F(x_{i+1})-F(x_i)$ были бы примерно одинаковы по абсолютной величине. Это даст возможность более точно построить график первообразной $ F(x)$ .

Более подробно о методах приближённого решения дифференциального уравнения (1.6), не только о методе Эйлера, но и о других, более эффективных, вы можете прочитать, например, в книгах:

1. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В., Вычислительные методы для инженеров. -- М., Высш. шк., 1994;

2. Ортега Дж., Пул У., Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. -- М., Наука, 1986.

  • Интегралы - конспект лекций, задачи с решениями

    Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от $ x$ и $ \sqrt{ax^2+bx+c}$

    Пусть функция $ R(u,v)$ рациональным образом зависит от своих аргументов $ u$ и $ v$ . Рассмотрим интеграл

     

    $\displaystyle \int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})dx,$ Тройной интеграл При рассмотрении тройного инеграла не будем подробно останавливаться на всех тех теоретических выкладках, которые были детально разобраны применительно к двойному интегралу, т.к. существенных различий между ними нет.

    где квадратный трёхчлен $ ax^2+bx+c$ содержит по крайней мере два ненулевых слагаемых, и $ a\ne0$ ($ a,b,c$  -- некоторые постоянные). Будем считать, что он не равен полному квадрату некоторого линейного выражения, то есть
    $\displaystyle ax^2+bx+c\ne z^2,$

    где $ z=kx+d$ ($ k$ и $ d$  -- некоторые постоянные), так как иначе квадратный корень извлекается: $ \sqrt{ax^2+bx+c}=\vert z\vert$ , и интеграл сводится к интегралу от рациональной функции переменного $ x$ (при $ z\geqslant 0$ и при $ z\leqslant 0$ получаются разные интегралы!). При этом предположении мы можем выделить в этом квадратном трёхчлене полный квадрат и привести его к одному из трёх возможных видов:
    1) $ ax^2+bx+c=m^2-z^2$ ;
    2) $ ax^2+bx+c=m^2+z^2$ ;
    3) $ ax^2+bx+c=z^2-m^2$ ,
    где $ m>0$  -- некоторая постоянная, а $ z=kx+d$  -- линейное выражение. (Четвёртый логически возможный случай, $ ax^2+bx+c=-m^2-z^2$ , означает, что под корнем находится отрицательное выражение, и поэтому рассматриваться не будет.)

    Подберём такие тригонометрические замены, чтобы корень извлекался. В первом случае, когда подкоренное выражение равно $ m^2-z^2$ , годится замена $ z=m\sin t$ , где $ t$  -- некоторая новая переменная. Тогда

    $\displaystyle \sqrt{m^2-z^2}=\sqrt{m^2(1-\sin^2t)}=m\vert\cos t\vert.$

    Достаточно считать, что $ t\in[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$ , так как при этом переменная $ z$ принимает все возможные для неё значения $ z\in[-m;m]$ . Тогда $ \cos t\geqslant 0$ и $ \vert\cos t\vert=\cos t$ . Получаем, что

    $\displaystyle x=\frac{1}{k}(z-d)=\frac{1}{k}(m\sin t-d)$

    и

    $\displaystyle dx=\frac{m}{k}\cos t\,dt.$

    Переходя к новой переменной в интеграле, получим:

    $\displaystyle \int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})dx= \int R\Bigl(\frac{1}{k}(m\sin t-d),m\cos t\Bigr)\frac{m}{k}\cos t\,dt= \int R_1(\sin t,\cos t),$

    где $ R_1(\sin t,\cos t)$  -- некоторая функция, рациональным образом зависящая от синуса и косинуса. Тем самым вычисление интеграла свелось к уже изученному выше случаю.

    Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

    Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды