Инвариантность дифференциала Функции нескольких переменных и дифференцирование

Инвариантность дифференциала

Пусть, как в предыдущем параграфе, ${y=h(u)=f(g(u))=(f\circ g)(u)}$ -- сложная функция, в которой -- промежуточные переменные. Найдём и сравним друг с другом дифференциалы функций и , то есть дифференциалы величины , вычисленные:
а) в предположении, что независимыми переменными служат $x_1,\ \dots,\ x_n$ ;
б) в предположении, что независимыми переменными служат $u_1,\dots,u_m$ .

В случае а) дифференциал равен

$\displaystyle dy= \frac{\partial f}{\partial x_1}(x)dx_1+ \frac{\partial f}{\... ...l f}{\partial x_n}(x)dx_n= \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)dx_i.$

В случае б) дифференциал, с учётом формулы для производной сложной функции, можно вычислить так:

$\displaystyle dy= \frac{\partial h}{\partial u_1}(u)du_1+ \frac{\partial h}{\... ...tial h}{\partial u_n}(u)du_n= \sum_{j=1}^m\frac{\partial h}{\partial u_j}du_j=$
$\displaystyle =\sum_{j=1}^m\Bigl( \frac{\partial f}{\partial x_1}(g(u))\frac{\... ... \frac{\partial f}{\partial x_i}(g(u))\frac{\partial g_i}{\partial u_j}(u)du_j=$
$\displaystyle =\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(g(u)) \Bigl( \su... ... dg_i(u;du)= \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(x(u)) dx_i(u;du).$

Полученное выражение совпадает по виду с тем, что получено для

в п. а). Разница лишь в том, что вместо дифференциалов независимых переменных

теперь стоят дифференциалы функций

. Это свойство называется инвариантностью дифференциала. Оно свидетельствует о том, что формулу

$\displaystyle dy=\sum_{i=1}^n \frac{\partial y}{\partial x_i}(x) dx_i$

можно применять, не заботясь о том, являются ли

независимыми или же промежуточными переменными.

Выпуклые множества и функции

Выше мы дали определение выпуклого множества: напомним, что множество ${\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ -- выпуклое, если вместе с любыми двумя точками $x^0,\ x^1\in{\Omega}$ множеству ${\Omega}$ принадлежат все точки отрезка, соединяющего в пространстве $\mathbb{R}^n$ точку с точкой . Заметим, что отрезок, состоящий из точек , можно параметризовать следующим образом: $x^t={\gamma}(t)=x^0+t(x^1-x^0).$ Тогда при будет получаться точка ${\gamma}(0)=x^0$ , при -- точка ${\gamma}(t)=x^1$ , а при $t\in(0;1)$ -- промежуточные точки отрезка, так что обозначения точек отрезка как будут согласованы с обозначениями его концов. Геометрические и физические приложения кратных интегралов

На следующем рисунке изображены два множества на плоскости $\mathbb{R}^2$ : одно выпуклое, а другое нет.

Рис.7.17.

Выпуклыми в пространстве $\mathbb{R}^n$ являются, например, такие множества: всё пространство $\mathbb{R}^n$ , его положительный октант $\{x=(x_1;\dots;x_n):x_i>0,\ i=1,\dots,n\}$ и неотрицательный октант $\mathbb{R}^n_+=\{x=(x_1;\dots;x_n):x_i\geqslant 0,\ i=1,\dots,n\}$ , любой шар, как открытый ${B^{x^0}_r=\{x\in\mathbb{R}^n:\vert x-x^0\vert<r\}}$ , так и замкнутый $\{x\in\mathbb{R}^n:\vert x-x^0\vert\leqslant r\}$ , любая гиперплоскость $\Pi$ (заданная некоторым уравнением вида $c_1x_1+\dots+c_nx_n+d=0$ , а также открытое и замкнутое полупространства, заданные, соответственно, условиями $c_1x_1+\dots+c_nx_n+d>0$ и $c_1x_1+\dots+c_nx_n+d\geqslant 0$ .

Упражнение 7.8 Докажите утверждения о выпуклости всех перечисленных множеств.

Заметим также, что, согласно определению, выпуклы также все одноточечные множества $\{x^0\}$ и пустое множество $\varnothing$ .

Неопределенный интеграл Векторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды