Пуассоновский поток Дифференцирование | Интегрирование | Применение интегралов | Вычисление интегралов | Неопределенный интеграл | На главную Классы С++
Определенные интегралы | Степенные ряды | Комплексные числа | Матрицы | Предел функции Найдём дифференциал функции трёх переменных Цветовые заливки, обводки, внешний облик, стили и эффекты Тройной интеграл в цилиндрических координатах
 
дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Функции нескольких переменных и дифференцирование

График функции нескольких переменных

Пусть областью определения функции нескольких переменных $ f(x)$ служит некоторая область $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ .

Графиком функции $ f$ называется подмножество $ (n+1)$ -мерного пространства $ \mathbb{R}^{n+1}$ с координатами $ (x_1;x_2;\dots;x_n;y)$ , заданное уравнением $ y=f(x)$ , то есть множество

 

$\displaystyle {\Gamma}_f=\{(x_1;x_2;\dots;x_n;f(x_1;x_2;\dots;x_n))\}$

(последняя координата $ y$ точки $ (x;y)$ , принадлежащей графику $ {\Gamma}_f$ , равна значению функции в точке $ x$ ).

Рис.7.7.



Изобразить график функции $ n$ переменных на чертеже можно лишь в случае $ n+1\leqslant 3$ (мы не можем изобразить на бумаге пространство большей размерности) и, следовательно, лишь при $ n=1$ (что соответствует функциям одной вешественной переменной) или при $ n=2$ , то есть для функции двух переменных. В последнем случае, при $ n=2$ , график $ {\Gamma}_f$ обычно изображают в виде некоторой поверхности, расположенной над (или под) областью определения $ {\Omega}=\mathcal{D}(f)$ , а область определения располагают в горизонтальной плоскости чертежа -- плоскости $ \mathbb{R}^2=x_1Ox_2$ . Вертикальная координатная ось тогда соответствует оси значений функции, $ Oy$ . Точки $ M$ , лежащие на графике, имеют тогда три координаты: $ M(x_1;x_2;y)$ , причём $ y=f(x_1;x_2)$ .


Функции нескольких переменных и дифференцирование

Связные множества

Введём ещё несколько понятий, относящихся к множествам точек в $ \mathbb{R}^n$ .

Пусть $ I$  -- отрезок $ [0;1]$ на вещественной оси $ \mathbb{R}_t$ , переменная на которой обозначается буквой $ t$ . Рассмотрим $ n$ функций $ {\gamma}_1(t),{\gamma}_2(t),\dots,{\gamma}_n(t)$ , заданных на отрезке $ I$ . Каждому $ t\in I$ соответствует тогда точка $ {\gamma}(t)=({\gamma}_1(t);{\gamma}_2(t);\dots;{\gamma}_n(t))$ пространства $ \mathbb{R}^n$ . Получаем отображение

Геометрические и физические приложения кратных интегралов

$\displaystyle {\gamma}:I\to\mathbb{R}^n,$

сопоставляющее каждому $ t\in I$ соответствующую точку $ {\gamma}(t)$ . Это отображение $ {\gamma}$ называется вектор-функцией, заданной на отрезке $ I\sbs\mathbb{R}_t$ .

Пусть теперь все функции $ {\gamma}_i$ , задающие вектор-функцию $ {\gamma}$ , непрерывны на отрезке $ I$ . Тогда и вектор-функцию $ {\gamma}$ будем называть непрерывной. Для такой непрерывной вектор-функции, при изменении $ t$ на отрезке $ I$ точка $ {\gamma}(t)$ непрерывно перемещается из положения $ x^0={\gamma}(0)$ в положение $ x^1={\gamma}(1)$ .

        Определение 7.5   В описанной выше ситуации будем называть отображение

$\displaystyle {\gamma}:I\to\mathbb{R}^n_x,$

заданное формулой $ x={\gamma}(t)$ , непрерывным путём, или просто путём, соединяющим точку $ x^0$ с точкой $ x^1$ пространства $ \mathbb{R}^n$ .

Рис.7.4.



Множество всех точек $ G=\{{\gamma}(t): t\in I\}$ будем называть непрерывной линией в $ \mathbb{R}^n$ , соединяющей точки $ x^0$ и $ x^1$ , а ту вектор-функцию $ {\gamma}$ , которая порождает линию $ G$  -- параметризацией этой линии.     

Заметим, что одна и та же линия $ G\sbs\mathbb{R}^n$ может иметь разные параметризации. Например, на плоскости $ \mathbb{R}^2$ с координатами $ (x_1;x_2)$ отрезок $ [0;1]$ оси $ Ox_1$ можно параметризовать, положив либо $ {\gamma}_1(t)=t,\ {\gamma}_2(t)=0$ , либо $ {\gamma}_1(t)=t^2,\ {\gamma}_2(t)=0$ (разумеется, формулы $ {\gamma}_1(t)=t^{{\alpha}},\ {\gamma}_2(t)=0$ , при любом $ {\alpha}>0$ задают ещё бесконечное множество различных параметризации той же линии $ G$ ).

        Определение 7.6   Множество $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ называется связным, если любые две точки $ x^0$ и $ x^1$ этого множества $ {\Omega}$ можно соединить непрерывной линией $ G$ , целиком лежащей в множестве $ {\Omega}$ , то есть если существует путь $ {\gamma}(t)$ , начинающийся в $ x^0$ и заканчивающийся в $ x^1$ , такой что $ {\gamma}(t)\in{\Omega}$ при всех $ t\in[0;1]$ .     

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды