Пуассоновский поток Дифференцирование | Интегрирование | Применение интегралов | Вычисление интегралов | Неопределенный интеграл | На главную Классы С++
Определенные интегралы | Степенные ряды | Комплексные числа | Матрицы | Предел функции Найдём дифференциал функции трёх переменных Цветовые заливки, обводки, внешний облик, стили и эффекты Тройной интеграл в цилиндрических координатах
 
дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Несобственные и определенные интегралы

 

Практическая оценка погрешности при применении квадратурных формул

В полученные нами формулы оценки ошибки квадратурной формулы входят величины $ M_k$ , ограничивающие абсолютную величину производной порядка $ k$ от подынтегральной функции ($ k=2$ для формул центральных прямоугольников и трапеций, $ k=4$ для формулы Симпсона, $ k=6$ и $ k=8$ для формулы Уэддля). Если величина $ M_k$ неизвестна (а как правило, в достаточно сложных задачах не вычисление интегралов она неизвестна или получить её весьма нелегко), то пользоваться этими оценками для определения величины ошибки конкретного вычисления невозможно. Так что всё, что дают нам формулы оценки ошибки -- это порядок квадратурных формул. Однако на этом основании можно получить следующее практическое правило, которое позволяет получить оценку ошибки конкретного вычисления, если квадратурную формулу применить два раза с разными шагами $ h$ .

А именно, если используемая квадратурная формула имеет порядок точности $ k$ ($ {k=2}$  -- порядок формул центральных прямоугольников и трапеций, $ k=4$  -- формулы Симпсона, $ k=6$  -- формулы Уэддля), то соответствующая шагу $ h$ погрешность $ {\varepsilon}_h$ имеет оценку $ Ch^k$ , где $ C$  -- некоторая постоянная, не зависящая от $ h$ . Таким образом, при малых $ h$ , то есть при достаточно большом числе отрезков разбиения $ n$ , будет

$\displaystyle {\varepsilon}_h\approx Ch^k$ и $\displaystyle {\varepsilon}_{\frac{h}{2}}\approx C\frac{h^k}{2^k}\approx\frac{1}{2^k}{\varepsilon}_h.$

Следовательно, если $ I_h=I-{\varepsilon}_h$  -- приближённое значение интеграла, точное значение которого равно $ I$ , то

$\displaystyle I-I_h\approx Ch^k;\ I-I_{\frac{h}{2}}\approx\frac{1}{2^k}Ch^k\approx\frac{1}{2^k}(I-I_h).$

Отсюда получаем, что

 

$\displaystyle I_{\frac{h}{2}}-I_h\approx\frac{1}{2^k}Ch^k(2^k-1)$

и

$\displaystyle I-I_{\frac{h}{2}}\approx\frac{I_{\frac{h}{2}}-I_h}{2^k-1}.$(5.5)

Таким образом, проведя вычисления по данной квадратурной формуле с некоторым шагом $ h=\frac{b-a}{n}$ , а затем удвоив число отрезков деления и проведя вычисления по той же формуле с шагом $ \frac{h}{2}$ , мы получим приближённые значения $ I_h$ и $ I_{\frac{h}{2}}$ и сможем, применив формулу (5.5), вычислить текущую погрешность, то есть оценку отклонения истинного значения интеграла от последнего из вычисленных приближённых значений (полученного с шагом $ \frac{h}{2}$ ).

На такой оценке текущей погрешности, как правило, основаны компьютерные программы, вычисляющие значение определённого интеграла с заданной точностью.


  • Несобственные и определенные интегралы

    Несобственные интегралы первого рода

         Определение 4.1   Предположим, что функция $ f(x)$ задана на бесконечном промежутке вида $[a;+\infty)$ -->$ [a;+\infty)$ и интегрируема на любом конечном отрезке $ [a;b]$ , где $b\in[a;+\infty)$ -->$ b\in[a;+\infty)$ . Таким образом, мы можем рассмотреть функцию

    \begin{displaymath} \Phi(b)=\int_a^bf(x)\;dx. \end{displaymath} -->

    $\displaystyle \Phi(b)=\int_a^bf(x)\;dx.$ Цилиндрическая система координат Связь координат произвольной точки Р пространства в цилиндрической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам:

    Если эта функция имеет предел $I=\lim\limits_{b\to+\infty}\Phi(b),$ -->$ I=\lim\limits_{b\to+\infty}\Phi(b),$ то число $ I$ называется значением несобственного интеграла первого рода

    \begin{displaymath} I=\int_a^{+\infty}f(x)\;dx, \end{displaymath} -->

    $\displaystyle I=\int_a^{+\infty}f(x)\;dx,$

    а сам интеграл $\int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ -->$ \int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ называется сходящимся (иными словами, интеграл $\int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ -->$ \int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ сходится).

    Если же предела $\lim\limits_{b\to+\infty}\Phi(b)$ -->$ \lim\limits_{b\to+\infty}\Phi(b)$ не существует (например, если $\Phi(b)\to\infty$ -->$ \Phi(b)\to\infty$ при $b\to+\infty$ -->$ b\to+\infty$ ), то интеграл $\int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ -->$ \int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ называется расходящимся (то есть расходится) и не имеет никакого числового значения.     

    Геометрически, в случае ${f(x)\geqslant 0}$ -->$ {f(x)\geqslant 0}$ , величина несобственного интеграла ${I=\int_a^{+\infty}f(x)\;dx}$ -->$ {I=\int_a^{+\infty}f(x)\;dx}$ означает, по определению, площадь бесконечно длинной области $\mathcal{D}$ -->$ \mathcal{D}$ , лежащей в координатной плоскости между лучом ${[a;+\infty)}$ -->$ {[a;+\infty)}$ на оси $ Ox$ , графиком $ y=f(x)$ и вертикальным отрезком $ {x=a}$ (см. рис.).

    Рис.4.1.


    Сходящиеся интегралы соответствуют таким областям $\mathcal{D}$ -->$ \mathcal{D}$ , площадь которых конечна (хотя сама область $\mathcal{D}$ -->$ \mathcal{D}$ неограничена), а расходящиеся (в случае $f(x)\geqslant 0$ -->$ f(x)\geqslant 0$ ) -- неограниченным областям с бесконечной площадью. В случае, когда $\Phi(b)\to\infty$ -->$ \Phi(b)\to\infty$ при $b\to+\infty$ -->$ b\to+\infty$ , часто пишут формально:

    \begin{displaymath} \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx=\infty, \end{displaymath} -->

    $\displaystyle \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx=\infty,$

    однако нужно ясно понимать, что эта запись означает расходимость интеграла и отсутствие у него числового значения.

    Само определение значения интеграла через предел интегралов по конечным, но увеличивающимся отрезкам означает исчерпание площади $ S=I$ путем учёта все большей её части $S_b=\int\limits_a^bf(x)\;dx:$ -->$ S_b=\int\limits_a^bf(x)\;dx:$ правый вертикальный отрезок, проведённый при $ x=b$ , отодвигается всё дальше и дальше в бесконечность; в пределе будет учтена вся площадь под графиком $ y=f(x)$ (см. рис.).

    Рис.4.2.

    Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

    Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды