Пуассоновский поток Дифференцирование | Интегрирование | Применение интегралов | Вычисление интегралов | Неопределенный интеграл | На главную Классы С++
Определенные интегралы | Степенные ряды | Комплексные числа | Матрицы | Предел функции Найдём дифференциал функции трёх переменных Цветовые заливки, обводки, внешний облик, стили и эффекты Тройной интеграл в цилиндрических координатах
 
дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Несобственные и определенные интегралы

Несобственные интегралы с несколькими особенностями

Рассмотрим функцию $ f(x)$ и такой промежуток $ J\sbs\mathbb{R}$ , на котором $ f(x)$ имеет несколько особенностей. Будем считать, что особенности имеются в тех точках промежутка, при приближении к которым функция имеет неинтегрируемые разрывы11, а также в $ -\infty$ и $ +\infty$ , если они являются концами рассматриваемого промежутка $ J$ .

Итак, пусть $ f(x)$ имеет особенности в $ c_1,\ c_2,\ \dots,\ c_n$ , где, возможно, $ c_1=-\infty$ и $ c_n=+\infty$ , а все оставшиеся $ c_i$  -- точки оси $ Ox$ . Точки $ c_i$ разбивают промежуток $ J$ на части -- интервалы $ (c_{i-1};c_i)$ , где внутри интервалов функция уже не имеет особенностей, то есть интегрируема по любому отрезку $ [c';c'']\sbs(c_{i-1};c_i)$ . Если промежуток $ J$  -- это отрезок $ [a;b]$ и в точках $ a$ и $ b$ функция не имеет особенностей, то к интервалам $ (c_{i-1};c_i)$ добавляются ещё полуинтервалы $ [a;c_1)$ и $ (c_n;b]$ с особенностями только в точках $ c_1$ и $ c_n$ . Выберем в каждом из интервалов $ (c_{i-1};c_i)$ по точке $ d_i$ . Тогда на полуинтервалах

  • Несобственные и определенные интегралы

    Несобственные интегралы первого рода

         Определение 4.1   Предположим, что функция $ f(x)$ задана на бесконечном промежутке вида $[a;+\infty)$ -->$ [a;+\infty)$ и интегрируема на любом конечном отрезке $ [a;b]$ , где $b\in[a;+\infty)$ -->$ b\in[a;+\infty)$ . Таким образом, мы можем рассмотреть функцию

    \begin{displaymath} \Phi(b)=\int_a^bf(x)\;dx. \end{displaymath} -->

    $\displaystyle \Phi(b)=\int_a^bf(x)\;dx.$ Цилиндрическая система координат Связь координат произвольной точки Р пространства в цилиндрической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам:

    Если эта функция имеет предел $I=\lim\limits_{b\to+\infty}\Phi(b),$ -->$ I=\lim\limits_{b\to+\infty}\Phi(b),$ то число $ I$ называется значением несобственного интеграла первого рода

    \begin{displaymath} I=\int_a^{+\infty}f(x)\;dx, \end{displaymath} -->

    $\displaystyle I=\int_a^{+\infty}f(x)\;dx,$

    а сам интеграл $\int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ -->$ \int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ называется сходящимся (иными словами, интеграл $\int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ -->$ \int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ сходится).

    Если же предела $\lim\limits_{b\to+\infty}\Phi(b)$ -->$ \lim\limits_{b\to+\infty}\Phi(b)$ не существует (например, если $\Phi(b)\to\infty$ -->$ \Phi(b)\to\infty$ при $b\to+\infty$ -->$ b\to+\infty$ ), то интеграл $\int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ -->$ \int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ называется расходящимся (то есть расходится) и не имеет никакого числового значения.     

    Геометрически, в случае ${f(x)\geqslant 0}$ -->$ {f(x)\geqslant 0}$ , величина несобственного интеграла ${I=\int_a^{+\infty}f(x)\;dx}$ -->$ {I=\int_a^{+\infty}f(x)\;dx}$ означает, по определению, площадь бесконечно длинной области $\mathcal{D}$ -->$ \mathcal{D}$ , лежащей в координатной плоскости между лучом ${[a;+\infty)}$ -->$ {[a;+\infty)}$ на оси $ Ox$ , графиком $ y=f(x)$ и вертикальным отрезком $ {x=a}$ (см. рис.).

    Рис.4.1.


    Сходящиеся интегралы соответствуют таким областям $\mathcal{D}$ -->$ \mathcal{D}$ , площадь которых конечна (хотя сама область $\mathcal{D}$ -->$ \mathcal{D}$ неограничена), а расходящиеся (в случае $f(x)\geqslant 0$ -->$ f(x)\geqslant 0$ ) -- неограниченным областям с бесконечной площадью. В случае, когда $\Phi(b)\to\infty$ -->$ \Phi(b)\to\infty$ при $b\to+\infty$ -->$ b\to+\infty$ , часто пишут формально:

    \begin{displaymath} \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx=\infty, \end{displaymath} -->

    $\displaystyle \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx=\infty,$

    однако нужно ясно понимать, что эта запись означает расходимость интеграла и отсутствие у него числового значения.

    Само определение значения интеграла через предел интегралов по конечным, но увеличивающимся отрезкам означает исчерпание площади $ S=I$ путем учёта все большей её части $S_b=\int\limits_a^bf(x)\;dx:$ -->$ S_b=\int\limits_a^bf(x)\;dx:$ правый вертикальный отрезок, проведённый при $ x=b$ , отодвигается всё дальше и дальше в бесконечность; в пределе будет учтена вся площадь под графиком $ y=f(x)$ (см. рис.).

    Рис.4.2.

    Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

    Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды