|
Теоремы свертки и запаздывания
Пример. Решить уравнение
Пример. Решить уравнение
Пример. Решить систему уравнений:
Пример. Решить систему уравнений при x(0) = y(0) = 1
Криволинейные интегралы Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой на частичные отрезки существует предел интегральных сумм, то этот предел называется криволинейным интегралом от функции f(x, y, z) по длине дуги АВ или криволинейным интегралом первого рода.
Свойства криволинейного интеграла первого рода Частные производные высших порядков Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные и тоже будут определены в той же области или ее части.
Пример. Вычислить интеграл по одному витку винтовой линии
Криволинейные интегралы второго рода Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой АВ интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется криволинейным интегралом по переменной х от функции P(x, y, z) по кривой АВ в направлении от А к В.
Свойства криволинейного интеграла второго рода
Пример. Вычислить криволинейный интеграл . L – контур, ограниченный параболами .
Формула Остроградского – Грина Формула Остроградского – Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом и двойным интегралом, т.е. дает выражение интеграла по замкнутому контуру через двойной интеграл по области, ограниченной этим контуром.
Пример. Решим пример, рассмотренный выше, воспользовавшись формулой Остроградского
– Грина.
Известные методы точного интегрирования дифференциальных уравнений позволяют найти решение в виде аналитической функции, однако эти методы применимы для очень ограниченного класса функций. Большинство уравнений, встречающихся при решении практических задач нельзя проинтегрировать с помощью этих методов.
В таких случаях используются численные методы решения, которые представляют решение дифференциального уравнения не в виде аналитической функции, а в виде таблиц значений искомой функции в зависимости от значения переменной.
Существует несколько методов численного интегрирования дифференциальных уравнений, которые отличаются друг от друга по сложности вычислений и точности результата.
Рассмотрим некоторые из них.
Метод Эйлера.
(Леонард Эйлер (1707 – 1783) швейцарский математик )
Расчёт трёхфазной цепи Электротехника курсовая работа
Известно, что уравнение 
задает в некоторой области поле направлений. Решение
этого уравнения с некоторыми начальными условиями дает кривую, которая касается
поля направлений в любой точке.
Если взять последовательность точек х0, х1, х2, …. и заменить на получившихся отрезках интегральную кривую на отрезки касательных к ней, то получим ломаную линию.
y
M2
M1 M3
При подстановке
заданных начальных условий (х0, у0) в дифференциальное
уравнение получаем угловой коэффициент касательной к интегральной
кривой в начальной точке
Заменив на отрезке [x0, x1] интегральную кривую на касательную к ней, получаем значение
Производя аналогичную операцию для отрезка [x1, x2], получаем:
Продолжая подобные действия далее, получаем ломаную кривую, которая называется ломаной Эйлера.
Можно записать общую формулу вычислений:
Если последовательность точек хi выбрать так, чтобы они отстояли друг от друга на одинаковое расстояние h, называемое шагом вычисления, то получаем формулу:
Следует отметить, что точность метода Эйлера относительно невысока. Увеличить точность можно, конечно, уменьшив шаг вычислений, однако, это приведет к усложнению расчетов. Поэтому на практике применяется так называемый уточненный метод Эйлера или формула пересчета.
Суть метода состоит в том, что в формуле 
вместо значения
берется среднее арифметическое
значений f(x0, y0) и f(x1,
y1). Тогда уточненное значение:
Расчёт трёхфазной цепи Электротехника курсовая работа
Затем находится
значение производной в точке 
. Заменяя f(x0, y0) средним арифметическим значений f(x0, y0) и 
, находят второе уточненное значение у1.
Затем третье:
и т.д. пока два последовательных уточненных значения не совпадут в пределах заданной степени точности. Тогда это значение принимается за ординату точки М1 ломаной Эйлера.
Аналогичная операция производится для остальных значений у.
Подобное уточнение позволяет существенно повысить точность результата.
Теоремы свертки и запаздывания
Пример. Решить уравнение
Пример. Решить уравнение
Пример. Решить систему уравнений:
Пример. Решить систему уравнений при x(0) = y(0) = 1
Криволинейные интегралы Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой на частичные отрезки существует предел интегральных сумм, то этот предел называется криволинейным интегралом от функции f(x, y, z) по длине дуги АВ или криволинейным интегралом первого рода.
Свойства криволинейного интеграла первого рода Частные производные высших порядков Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные и тоже будут определены в той же области или ее части.
Пример. Вычислить интеграл по одному витку винтовой линии
Криволинейные интегралы второго рода Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой АВ интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется криволинейным интегралом по переменной х от функции P(x, y, z) по кривой АВ в направлении от А к В.
Свойства криволинейного интеграла второго рода
Пример. Вычислить криволинейный интеграл . L – контур, ограниченный параболами .
Формула Остроградского – Грина Формула Остроградского – Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом и двойным интегралом, т.е. дает выражение интеграла по замкнутому контуру через двойной интеграл по области, ограниченной этим контуром.
Пример. Решим пример, рассмотренный выше, воспользовавшись формулой Остроградского
– Грина.
Неопределенный интегралВекторное
произведение векторов
|