|
| |
| Функции нескольких переменных и их дифференцирование Пределы функций нескольких переменных Приближённые вычисления с помощью дифференциала Свойства градиента и производной по направлению | |
| Дифференциальное и интегральное исчисление | |
| Интегрирование элементарных дробей, рациональных функций, биноминальных дифференциалов Логарифмическое дифференцирование | |
| Дифференциальные уравнения при решении задач | |
| Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальные уравнения при решении физических задач | |
| Методы интегрирования | |
|
Интегрирование по частям Способ подстановки (замены переменных) | |
| Интегрирование тригонометрических функций | |
| Интегралы от произведений синусов и косинусов Функции нескольких переменных При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных. | |
| Применение интегралов при вычисление плащадей и обьемов | |
| |
| Вычисление неберущихся интегралов | |
| Вычисление неопределенного интеграла | |
| Интеграл с переменным верхним пределом Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций Матрица Гессе | |
у a
b
A S
Как уже говорилось выше, линия S, которая задается функцией, являющейся каким- либо решением
дифференциального уравнения, называется интегральной кривой уравнения 
Производная y’ является угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой.
В любой точке А(х, у) интегральной кривой этот угловой коэффициент касательной может быть найден еще до решения дифференциального уравнения.
Т.к. касательная указывает направление интегральной кривой еще до ее непосредственного построения, то при условии непрерывности функции f(x, y) и непрерывного перемещения точки А можно наглядно изобразить поле направлений кривых, которые получаются в результате интегрирования дифференциального уравнения, т.е. представляют собой его общее решение.
Расчёт трёхфазной цепи Электротехника курсовая работа
Определение. Множество касательных в каждой точке рассматриваемой области называется полем направлений.
С учетом сказанного выше можно привести следующее геометрическое истолкование дифференциального уравнения:
1) Задать дифференциальное уравнение первого порядка – это значит задать поле направлений.
2) Решить или проинтегрировать дифференциальное уравнение – это значит найти всевозможные кривые, у которых направление касательных в каждой точке совпадает с полем направлений.
Определение. Линии равного наклона в поле направлений называются изоклинами.
Теоремы свертки и запаздывания
Пример. Решить уравнение
Пример. Решить уравнение
Пример. Решить систему уравнений:
Пример. Решить систему уравнений при x(0) = y(0) = 1
Криволинейные интегралы Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой на частичные отрезки существует предел интегральных сумм, то этот предел называется криволинейным интегралом от функции f(x, y, z) по длине дуги АВ или криволинейным интегралом первого рода.
Свойства криволинейного интеграла первого рода Частные производные высших порядков Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные и тоже будут определены в той же области или ее части.
Пример. Вычислить интеграл по одному витку винтовой линии
Криволинейные интегралы второго рода Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой АВ интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется криволинейным интегралом по переменной х от функции P(x, y, z) по кривой АВ в направлении от А к В.
Свойства криволинейного интеграла второго рода
Пример. Вычислить криволинейный интеграл . L – контур, ограниченный параболами .
Формула Остроградского – Грина Формула Остроградского – Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом и двойным интегралом, т.е. дает выражение интеграла по замкнутому контуру через двойной интеграл по области, ограниченной этим контуром.
Пример. Решим пример, рассмотренный выше, воспользовавшись формулой Остроградского
– Грина.
Неопределенный интегралВекторное
произведение векторов
|