|
Пример. Решить дифференциальное уравнение 
с начальным условием у(1)=0.
В этом уравнении также удобно применить замену переменных.
Уравнение
принимает вид: 
Делаем
обратную подстановку: 
Общее
решение: 
C учетом начального условия у(1) = 0: 
Частное
решение: 
Второй способ решения.
Замена
переменной: 
Общее
решение:
Теоремы свертки и запаздывания
Пример. Решить уравнение
Пример. Решить уравнение
Пример. Решить систему уравнений:
Пример. Решить систему уравнений при x(0) = y(0) = 1
Криволинейные интегралы Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой на частичные отрезки существует предел интегральных сумм, то этот предел называется криволинейным интегралом от функции f(x, y, z) по длине дуги АВ или криволинейным интегралом первого рода.
Свойства криволинейного интеграла первого рода Частные производные высших порядков Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные и тоже будут определены в той же области или ее части.
Пример. Вычислить интеграл по одному витку винтовой линии
Криволинейные интегралы второго рода Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой АВ интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется криволинейным интегралом по переменной х от функции P(x, y, z) по кривой АВ в направлении от А к В.
Свойства криволинейного интеграла второго рода
Пример. Вычислить криволинейный интеграл . L – контур, ограниченный параболами .
Формула Остроградского – Грина Формула Остроградского – Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом и двойным интегралом, т.е. дает выражение интеграла по замкнутому контуру через двойной интеграл по области, ограниченной этим контуром.
Пример. Решим пример, рассмотренный выше, воспользовавшись формулой Остроградского
– Грина.
Неопределенный интегралВекторное
произведение векторов
|