|
Теоремы свертки и запаздывания
Пример. Решить уравнение
Пример. Решить уравнение
Пример. Решить систему уравнений:
Пример. Решить систему уравнений при x(0) = y(0) = 1
Криволинейные интегралы Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой на частичные отрезки существует предел интегральных сумм, то этот предел называется криволинейным интегралом от функции f(x, y, z) по длине дуги АВ или криволинейным интегралом первого рода.
Свойства криволинейного интеграла первого рода Частные производные высших порядков Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные и тоже будут определены в той же области или ее части.
Пример. Вычислить интеграл по одному витку винтовой линии
Криволинейные интегралы второго рода Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой АВ интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется криволинейным интегралом по переменной х от функции P(x, y, z) по кривой АВ в направлении от А к В.
Свойства криволинейного интеграла второго рода
Пример. Вычислить криволинейный интеграл . L – контур, ограниченный параболами .
Формула Остроградского – Грина Формула Остроградского – Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом и двойным интегралом, т.е. дает выражение интеграла по замкнутому контуру через двойной интеграл по области, ограниченной этим контуром.
Пример. Решим пример, рассмотренный выше, воспользовавшись формулой Остроградского
– Грина.
( Алекси Клод Клеро (1713 – 1765) французский математик ин. поч. член Петерб. АН )
Определение. Уравнением Лагранжа называется дифференциальное уравнение, линейное относительно х и у, коэффициенты которого являются функциями от y’.
Для нахождения общего решение применяется подстановка p = y’.
Дифференцируя
это уравнение,c учетом
того, что 
,
получаем:
Если
решение этого (линейного относительно х) уравнения есть 
то общее решение уравнения
Лагранжа может быть записано в виде:
Расчёт трёхфазной цепи Электротехника курсовая работа
Определение. Уравнением Клеро называется уравнение первой степени (т.е. линейное) относительно функции
и аргумента вида:
Вообще говоря, уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа.
С
учетом замены 
, уравнение принимает вид:
Это уравнение имеет два возможных решения:
или 
В первом случае: 
Видно, что общий интеграл уравнения Клеро представляет собой семейство прямых линий.
Во втором случае решение в параметрической форме выражается системой уравнений:
Исключая параметр р, получаем второе решение F(x, y) = 0. Это решение не содержит произвольной постоянной и не получено из общего решения, следовательно, не является частным решением.
Это решение будет являться особым интегралом.
Далее рассмотрим примеры решения различных типов дифференциальных уравнений первого порядка.
Поверхностные интегралы первого рода Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения l поверхности существует конечный предел интегральных сумм, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода или интегралом по площади поверхности.
Свойства поверхностного интеграла первого рода
Поверхностные интегралы второго рода Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения поверхности S интегральные суммы, составленные как суммы произведений значений некоторой функции на площадь частичной поверхности, имеют конечный предел, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода.
Связь поверхностных интегралов первого и второго рода Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.
Формула Гаусса – Остроградского Формула Гаусса – Остроградского является аналогом формулы Грина – Остроградского. Эта формула связывает поверхностный интеграл второго рода по замкнутой поверхности с тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью.
Найти формулу вычисления объема шара
Элементы теории поля
Формула Стокса. Формула Стокса связывает криволинейные интегралы второго рода с поверхностными интегралами второго рода.
Определение.
Криволинейный интеграл, представляющий собой работу векторного поля вдоль некоторой
кривой L называется линейным интегралом от вектора по ориентированной кривой L.
Неопределенный интегралВекторное
произведение векторов
|