Вычисление интегралов методом Монте-Карло Дифференцирование | Интегрирование | Применение интегралов | Вычисление интегралов | Неопределенный интеграл | На главную

Определенные интегралы | Степенные ряды | Комплексные числа | Понятие комплексного числа Матрицы | Предел функции Функции нескольких переменных и их дифференцирование Направляющие линии и сетка Adobe Illustrator Матрицы и определители

Методы решения дифференциальных уравнений

 

Примеры решения задач по высшей математике
Нахождение дифференциала функции
	Функции нескольких переменных и их дифференцирование Пределы функций нескольких переменных Приближённые вычисления с помощью дифференциала Свойства градиента и производной по направлению
Дифференциальное и интегральное исчисление
	Интегрирование элементарных дробей, рациональных функций, биноминальных дифференциалов Логарифмическое дифференцирование
Дифференциальные уравнения при решении задач
	Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальные уравнения при решении физических задач
Методы интегрирования
	Интегрирование по частям Способ подстановки (замены переменных)
Интегрирование тригонометрических функций
	Интегралы от произведений синусов и косинусов Функции нескольких переменных При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных.
Применение интегралов при вычисление плащадей и обьемов
	Применение интегралов при вычисление объема тела Вычисление длин дуг плоских кривых, заданных в декартовых координатах и параметрически Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы (контура) Применение интегралов при вычислении площади в полярных координатах Вычисление площадей в декартовых координатах Математика лекции учебники курсовые конспекты студенту и школьнику
Вычисление неберущихся интегралов
Вычисление неопределенного интеграла
	Интеграл с переменным верхним пределом Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций Матрица Гессе

  Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(x)¹0) применяются в основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа.

Метод Бернулли.

(Якоб Бернулли (1654-1705) – швейцарский математик.)

  Расчёт трёхфазной цепи Электротехника курсовая работа

  Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций .

  При этом очевидно, что  - дифференцирование по частям.

  Подставляя в исходное уравнение, получаем:

 Далее следует важное замечание – т.к. первоначальная функция была представлена нами в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению.

  Например, функция  может быть представлена как

 и т.п.

  Таким образом, можно одну из составляющих произведение функций выбрать так, что выражение .

  Таким образом, возможно получить функцию u, проинтегрировав, полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме:

  Для нахождения второй неизвестной функции v подставим поученное выражение для функции u в исходное уравнение  с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю.

  Интегрируя, можем найти функцию v:

; ;

  Т.е. была получена вторая составляющая произведения , которое и определяет искомую функцию.

  Подставляя полученные значения, получаем:

 Окончательно получаем формулу:

, С₂ - произвольный коэффициент.

Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного дифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли.

Поверхностные интегралы первого рода Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения l поверхности существует конечный предел интегральных сумм, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода или интегралом по площади поверхности.

Свойства поверхностного интеграла первого рода

Поверхностные интегралы второго рода Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения поверхности S интегральные суммы, составленные как суммы произведений значений некоторой функции на площадь частичной поверхности, имеют конечный предел, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода.

Связь поверхностных интегралов первого и второго рода Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.

Формула Гаусса – Остроградского Формула Гаусса – Остроградского является аналогом формулы Грина – Остроградского. Эта формула связывает поверхностный интеграл второго рода по замкнутой поверхности с тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью.

Найти формулу вычисления объема шара

Элементы теории поля

Формула Стокса. Формула Стокса связывает криволинейные интегралы второго рода с поверхностными интегралами второго рода.

Определение. Криволинейный интеграл, представляющий собой работу векторного поля вдоль некоторой кривой L называется линейным интегралом от вектора по ориентированной кривой L.