|
Свойства поверхностного интеграла первого рода
Поверхностные интегралы второго рода Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения поверхности S интегральные суммы, составленные как суммы произведений значений некоторой функции на площадь частичной поверхности, имеют конечный предел, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода.
Связь поверхностных интегралов первого и второго рода Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.
Формула Гаусса – Остроградского Формула Гаусса – Остроградского является аналогом формулы Грина – Остроградского. Эта формула связывает поверхностный интеграл второго рода по замкнутой поверхности с тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью.
Найти формулу вычисления объема шара
Элементы теории поля
Формула Стокса. Формула Стокса связывает криволинейные интегралы второго рода с поверхностными интегралами второго рода.
Определение.
Криволинейный интеграл, представляющий собой работу векторного поля вдоль некоторой
кривой L называется линейным интегралом от вектора по ориентированной кривой L.
Определение. Криволинейный интеграл, представляющий собой работу
векторного поля вдоль некоторой кривой L называется линейным интегралом от вектора 
по ориентированной
кривой L.
Если кривая L представляет
собой замкнутый контур, то линейный интеграл по такому контуру называется циркуляцией
вектроного поля вдоль контура
L.
Расчёт трёхфазной цепи Электротехника курсовая работа
В векторной форме теорему Стокса можно сформулировать так:
Циркуляция вектора вдоль контура некоторой поверхности равна потоку вихря (ротора) через эту поверхность.
Отметим, что рассмотренная выше формула Грина – Остроградского является частным случаем формулы Стокса.
Также при условии равенства нулю всех компонент ротора вектора, получаем, что криволинейный интеграл по любой пространственной кривой равен нулю, т.е. криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.
Определение. Выражение 
называется дивергенцией вектора (дивергенцией векторной
функции) 
и обозначается
Таким образом, формулу Гаусса – Остроградского может быть записана в виде:
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.
Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.
Пример
Свойства общего решения
Дифференциальные
уравнения первого порядка Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка
называется соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую
переменную, т.е. соотношение вида:
Уравнения с разделяющимися переменными
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: Градиент
Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и некоторый вектор, проекции
которого на координатные оси равны значениям функции u в соответствующей точке
Пример. Решить уравнение
Пример. Решить уравнение
Однородные уравнения
Определение. Функция f(x, y) называется однородной n – го измерения относительно
своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется
тождество:
Пример. Решить уравнение .
Уравнения, приводящиеся к однородным
Пример. Решить уравнение
Линейные уравнения Определение. Дифференциальное
уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной,
если оно может быть записано в виде:
Линейные неоднородные дифференциальные
уравнения
Метод Лагранжа
Пример. Решить уравнение
Пример. Решить
уравнение
Уравнения в полных дифференциалах
Определение. Дифференциальное
уравнение первого порядка вида:
называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции
Пример. Решить уравнение
Уравнения Лагранжа и Клеро
Пример. Решить уравнение с заданными начальными условиями.
Пример. Найти
общий интеграл уравнения .
Пример. Решить предыдущий пример другим способом.
Пример. Решить уравнение с начальным условием у(0) = 0.
Пример. Решить
дифференциальное уравнение с начальным условием у(1) = 0.
Пример. Решить
дифференциальное уравнение с начальным условием у(1)=0.
Геометрическая интерпретация
решений дифференциальных уравнений первого порядка
Численные методы решения
дифференциальных уравнений
Дифференциальные уравнения высших порядков
Уравнения, допускающие понижение порядка
Уравнения, не содержащие явно искомой
функции и ее производных до порядка k – 1 включительно
Уравнения, не содержащие
явно независимой переменной
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами
Структура общего решения
Общее решение линейного однородного дифференциального
уравнения второго порядка
Линейные однородные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами
Неопределенный интегралВекторное
произведение векторов
|