Вычисление интегралов методом Монте-Карло Дифференцирование | Интегрирование | Применение интегралов | Вычисление интегралов | Неопределенный интеграл | На главную

Определенные интегралы | Степенные ряды | Комплексные числа | Понятие комплексного числа Матрицы | Предел функции Функции нескольких переменных и их дифференцирование Направляющие линии и сетка Adobe Illustrator Матрицы и определители

Поверхностные интегралы второго рода

  Если на поверхности S есть хотя бы одна точка и хотя бы один не пересекающий границу поверхности контур, при обходе по которому направление нормали в точке меняется на противоположное, то такая поверхность называется односторонней.

  Если при этих условиях направление нормали не меняется, то поверхность называется двухсторонней.

Будем считать положительным направлением обхода контура L, принадлежащего поверхности, такое направление, при движении по которому по выбранной стороне поверхности сама поверхность остается слева.

  Двухсторонняя поверхность с установленным положительным направлением обхода называется ориентированной поверхностью.

  Рассмотрим в пространстве XYZ ограниченную двухстороннюю поверхность S, состоящую из конечного числа кусков, каждый из которых задан либо уравнением вида z = f(x, y), либо является цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ.

  Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения поверхности S интегральные суммы, составленные как суммы произведений значений некоторой функции на площадь частичной поверхности, имеют конечный предел, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода.

- поверхностный интеграл второго рода.

  Свойства поверхностного интеграла второго рода аналогичны уже рассмотренным нами свойствам поверхностного интеграла первого рода.

Т.е. любой поверхностный интеграл второго рода меняет знак при перемене стороны поверхности, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, поверхностный интеграл от суммы двух и более функций равен сумме поверхностных интегралов от этих функций, если поверхность разбита на конечное число частичных поверхностей, интеграл по всей поверхности равен сумме интегралов по частичным поверхностям.

Расчёт трёхфазной цепи Электротехника курсовая работа

Если S- цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси OZ, то . В случае, если образующие поверхности параллельны осям OX и OY, то равны нулю соответствующие составляющие поверхностного интеграла второго рода.

Вычисление поверхностного интеграла второго рода сводится к вычислению соответствующих двойных интегралов. Рассмотрим это на примере.

Пример. Вычислить интеграл  по верхней стороне полусферы

  Преобразуем уравнение поверхности к виду:

 Заданная поверхность проецируется на плоскость XOY в круг, уравнение которого:

Расчёт трёхфазной цепи Электротехника курсовая работа

 Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координатам:

,

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.

Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Пример
Свойства общего решения
Дифференциальные уравнения первого порядка Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида:
Уравнения с разделяющимися переменными
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: Градиент Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям функции u в соответствующей точке
Пример. Решить уравнение
Пример. Решить уравнение
Однородные уравнения Определение. Функция f(x, y) называется однородной n – го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется тождество:
Пример. Решить уравнение .
Уравнения, приводящиеся к однородным
Пример. Решить уравнение
Линейные уравнения Определение. Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
Метод Лагранжа
Пример. Решить уравнение
Пример. Решить уравнение
Уравнения в полных дифференциалах
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида:

называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции

Пример. Решить уравнение
Уравнения Лагранжа и Клеро
Пример. Решить уравнение с заданными начальными условиями.
Пример. Найти общий интеграл уравнения .
Пример. Решить предыдущий пример другим способом.
Пример. Решить уравнение с начальным условием у(0) = 0.
Пример. Решить дифференциальное уравнение с начальным условием у(1) = 0.
Пример. Решить дифференциальное уравнение с начальным условием у(1)=0.
Геометрическая интерпретация решений дифференциальных уравнений первого порядка
Численные методы решения дифференциальных уравнений
Дифференциальные уравнения высших порядков
Уравнения, допускающие понижение порядка
Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка k – 1 включительно
Уравнения, не содержащие явно независимой переменной
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами
Структура общего решения
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами