|
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.
Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.
Пример
Свойства общего решения
Дифференциальные
уравнения первого порядка Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка
называется соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую
переменную, т.е. соотношение вида:
Уравнения с разделяющимися переменными
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: Градиент
Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и некоторый вектор, проекции
которого на координатные оси равны значениям функции u в соответствующей точке
Пример. Решить уравнение
Пример. Решить уравнение
Однородные уравнения
Определение. Функция f(x, y) называется однородной n – го измерения относительно
своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется
тождество:
Пример. Решить уравнение .
Уравнения, приводящиеся к однородным
Пример. Решить уравнение
Линейные уравнения Определение. Дифференциальное
уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной,
если оно может быть записано в виде:
Линейные неоднородные дифференциальные
уравнения
Метод Лагранжа
Пример. Решить уравнение
Пример. Решить
уравнение
Уравнения в полных дифференциалах
Определение. Дифференциальное
уравнение первого порядка вида:
называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции
Пример. Решить уравнение
Уравнения Лагранжа и Клеро
Пример. Решить уравнение с заданными начальными условиями.
Пример. Найти
общий интеграл уравнения .
Пример. Решить предыдущий пример другим способом.
Пример. Решить уравнение с начальным условием у(0) = 0.
Пример. Решить
дифференциальное уравнение с начальным условием у(1) = 0.
Пример. Решить
дифференциальное уравнение с начальным условием у(1)=0.
Геометрическая интерпретация
решений дифференциальных уравнений первого порядка
Численные методы решения
дифференциальных уравнений
Дифференциальные уравнения высших порядков
Уравнения, допускающие понижение порядка
Уравнения, не содержащие явно искомой
функции и ее производных до порядка k – 1 включительно
Уравнения, не содержащие
явно независимой переменной
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами
Структура общего решения
Общее решение линейного однородного дифференциального
уравнения второго порядка
Линейные однородные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами
Пример. Решить систему уравнений 
при x(0) = y(0) = 1
Составим систему вспомогательных уравнений:
Если обозначить
то из полученного частного решения системы можно
записать и общее решение:
При рассмотрении нормальных систем дифференциальных уравнений этот пример был решен традиционным способом Как видно, результаты совпадают.
Отметим, что операторный способ решения систем дифференциальных уравнений применим к системам порядка выше первого, что очень важно, т.к. в этом случае применение других способов крайне затруднительно.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами
Метод вариации произвольных постоянных
Линейные неоднородные дифференциальные
уравнения с постоянными коэффициентами
Уравнения с правой частью специального
вида
Пример. Решить уравнение
Пример. Решить уравнение
Нормальные
системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Нормальные системы линейных
однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Пример.
Найти решение системы уравнений
Пример. Найти общее решение системы уравнений:
Элементы теории устойчивости
Ляпунов Александр Михайлович Производная
по направлению Проведем через точки М и М1 вектор .
Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно
a, b, g. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора
.
Классификация точек покоя
Классификация основных типов
уравнений математической физики
Уравнения математической физики. Уравнения
в частных производных.
Волновое уравнение
Уравнение колебаний струны
краевые условия
Решение задачи Коши методом разделения переменных.
Решение задачи Коши методом Даламбера
Уравнение теплопроводности
Уравнение
Лапласа
Решение задачи Дирихле для круга
Ряды. Основные определения.
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым
рядом.
Свойства рядов
Критерий Коши необходимые и достаточные условия сходимости ряда
Ряды с неотрицательными членами
Признак Коши. (радикальный признак) Если для ряда с неотрицательными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство
Пример. Определить сходимость ряда .
Интегральный признак Коши
Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды
Знакочередующийся ряд можно записать в виде: где
Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов
Неопределенный интегралВекторное
произведение векторов
|