|
Свойства поверхностного интеграла первого рода
Поверхностные интегралы второго рода Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения поверхности S интегральные суммы, составленные как суммы произведений значений некоторой функции на площадь частичной поверхности, имеют конечный предел, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода.
Связь поверхностных интегралов первого и второго рода Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.
Формула Гаусса – Остроградского Формула Гаусса – Остроградского является аналогом формулы Грина – Остроградского. Эта формула связывает поверхностный интеграл второго рода по замкнутой поверхности с тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью.
Найти формулу вычисления объема шара
Элементы теории поля
Формула Стокса. Формула Стокса связывает криволинейные интегралы второго рода с поверхностными интегралами второго рода.
Определение.
Криволинейный интеграл, представляющий собой работу векторного поля вдоль некоторой
кривой L называется линейным интегралом от вектора по ориентированной кривой L.
2)
Функция f(x) имеет вид: 
.
В этом случае точка z0 называется полюсом функции f(z) порядка (кратности) m. При m = 1 точку z0 называют еще простым полюсом.
Порядок полюса может быть определен по формуле:
z0 – полюс порядка т.
3) Функция f(z) имеет вид 
, где в ряду 
не равно нулю бесконечное количество коэффициентов с-k.
В этом случае говорят, что функция f(z) имеет в точке z0 существенно особую точку.
Определение. Пусть z0 – изолированная
особая точка функция f(z), т.е. пусть
функция f(z) – аналитическая в некотором круге 
из которого исключена
точка z0. Тогда
интеграл
называется
вычетом функции f(z) в точке z0, где L – контур в круге , ориентированный против часовой стрелки
и содержащей в себе точку z0.
Вычет также обозначают иногда 
.
Если 
есть
ряд Лорана функции f в точке
z0, то 
.
Таким образом, если известно разложение функции в ряд Лорана, то вычет легко может быть найден в случае любой особой точки.
В частных случаях вычет может быть найден и без разложения в ряд Лорана.
Например, если функция 
, а 
имеет простой нуль при z =
z0 
, то z = z0 является
простым полюсом функции f(z).
Расчёт трёхфазной цепи Электротехника курсовая работа
Тогда можно показать, что вычет находится по формуле
Если z = z0 – полюс порядка m ³ 1, то вычет может быть найден по формуле:
Пример. Найти вычет функции 
относительно точки z =
2.
Эта точка является полюсом второго порядка. Получаем:
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами
Метод вариации произвольных постоянных
Линейные неоднородные дифференциальные
уравнения с постоянными коэффициентами
Уравнения с правой частью специального
вида
Пример. Решить уравнение
Пример. Решить уравнение
Нормальные
системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Нормальные системы линейных
однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Пример.
Найти решение системы уравнений
Пример. Найти общее решение системы уравнений:
Элементы теории устойчивости
Ляпунов Александр Михайлович Производная
по направлению Проведем через точки М и М1 вектор .
Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно
a, b, g. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора
.
Классификация точек покоя
Классификация основных типов
уравнений математической физики
Уравнения математической физики. Уравнения
в частных производных.
Волновое уравнение
Уравнение колебаний струны
краевые условия
Решение задачи Коши методом разделения переменных.
Решение задачи Коши методом Даламбера
Уравнение теплопроводности
Уравнение
Лапласа
Решение задачи Дирихле для круга
Ряды. Основные определения.
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым
рядом.
Свойства рядов
Критерий Коши необходимые и достаточные условия сходимости ряда
Ряды с неотрицательными членами
Признак Коши. (радикальный признак) Если для ряда с неотрицательными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство
Пример. Определить сходимость ряда .
Интегральный признак Коши
Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды
Знакочередующийся ряд можно записать в виде: где
Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов
Неопределенный интегралВекторное
произведение векторов
|