|
Свойства рядов
Критерий Коши необходимые и достаточные условия сходимости ряда
Ряды с неотрицательными членами
Признак Коши. (радикальный признак) Если для ряда с неотрицательными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство
Пример. Определить сходимость ряда .
Интегральный признак Коши
Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды
Знакочередующийся ряд можно записать в виде: где
Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов
Определение. Трансцендентными называются аналитические функции, которые не являются алгебраическими.
Если аргументом показательной или тригонометрических функций является комплексное число, то определение этих функций, вводимое в элементарной алгебре теряет смысл.
Рассмотрим разложение в степенной ряд следующих функций:
Расчёт трёхфазной цепи Электротехника курсовая работа
Функции ez, cosz, sinz связаны между собой формулой Эйлера Эта формула может быть очень легко получена сложением соотвествующих рядов.
Также справедливы равенства:
Для тригонометрических функций комплексного аргумента справедливы основные тригонометрические тождества (синус и косинус суммы, разности и т.д.), которые справедливы для функций действительного аргумента.
Определение. Гиперболическим синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом называются соответственно функции:
Гиперболические функции могут быть выражены через тригонометрические:
Гиперболические функции sh z и ch z имеют период 2pi, а функции th z и cth z – период pi.
Пример. Найти sin(1+2i).
Расчёт трёхфазной цепи Электротехника курсовая работа
Определение. Логарифмическая функция комплексного аргумента определяется как функция, обратная показательной.
Если w = u + iv, то 
и Arg ew =
= v.
Тогда
eu = 
.
Итого:
Для
комплексного числа z = a + ib 
Определение. Выражение 
называется
главным значением логарифма.
Логарифмическая функция комплексного аргумента обладает следующими свойствами:
1) 
2) 
3) 
4) 
Обратные тригонометрические функции комплексного переменного имеют вид:
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами
Метод вариации произвольных постоянных
Линейные неоднородные дифференциальные
уравнения с постоянными коэффициентами
Уравнения с правой частью специального
вида
Пример. Решить уравнение
Пример. Решить уравнение
Нормальные
системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Нормальные системы линейных
однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Пример.
Найти решение системы уравнений
Пример. Найти общее решение системы уравнений:
Элементы теории устойчивости
Ляпунов Александр Михайлович Производная
по направлению Проведем через точки М и М1 вектор .
Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно
a, b, g. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора
.
Классификация точек покоя
Классификация основных типов
уравнений математической физики
Уравнения математической физики. Уравнения
в частных производных.
Волновое уравнение
Уравнение колебаний струны
краевые условия
Решение задачи Коши методом разделения переменных.
Решение задачи Коши методом Даламбера
Уравнение теплопроводности
Уравнение
Лапласа
Решение задачи Дирихле для круга
Ряды. Основные определения.
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым
рядом.
Свойства рядов
Критерий Коши необходимые и достаточные условия сходимости ряда
Ряды с неотрицательными членами
Признак Коши. (радикальный признак) Если для ряда с неотрицательными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство
Пример. Определить сходимость ряда .
Интегральный признак Коши
Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды
Знакочередующийся ряд можно записать в виде: где
Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов
Неопределенный интегралВекторное
произведение векторов
|