|
Свойства рядов
Критерий Коши необходимые и достаточные условия сходимости ряда
Ряды с неотрицательными членами
Признак Коши. (радикальный признак) Если для ряда с неотрицательными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство
Пример. Определить сходимость ряда .
Интегральный признак Коши
Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды
Знакочередующийся ряд можно записать в виде: где
Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов
Теорема. (Теорема Дирихле) Если функция f(x) имеет период 2p и на отрезке
[-p;p] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок
[-p;p] можно разбить
на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция f(x)
монотонна, то ряд Фурье для функции f(x)
сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции f(x)
его сумма равна f(x), а в точках разрыва его сумма равна 
, т.е. среднему арифметическому
предельных значений слева и справа. При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит
интервалу непрерывности функции f(x).
Функция f(x), для которой выполняются условия теоремы Дирихле называется кусочно – монотонной на отрезке [-p;p].
Теорема. Если функция f(x) имеет период 2p, кроме
того, f(x) и ее производная f’(x)
– непрерывные функции на отрезке [-p;p] или имеют конечное число точек разрыва первого рода
на этом отрезке, то ряд Фурье функции f(x)
сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности его сумма равна f(x),
а в точках разрыва она равна . При этом ряд Фурье функции f(x)
сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности
функции f(x).
Функция, удовлетворяющая условиям этой теоремы, называется кусочно – гладкой на отрезке [-p;p].
Функциональные последовательности Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х, то ряд называется функциональным.
Функциональные ряды
Признак равномерной сходимости Вейерштрасса
Степенные ряды Определение. Степенным рядом называется ряд вида .
Теоремы Абеля Экстремум функции нескольких переменных Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию u = f( x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение
Действия со степенными рядами
Разложение функций в степенные ряды. Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.
Способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования
Пример. Разложить в степенной ряд функцию .
Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения.
Пример. Найти решение уравнения c начальными условиями y(0)=1, y’(0)=0.
Ряды Фурье
Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье
Разложение в ряд Фурье непериодической функции
Ряд Фурье для четных и нечетных функций
Ряд Фурье для четных и нечетных функций
Ряды Фурье
для функций любого периода
Неопределенный интегралВекторное
произведение векторов
|