|
| |
| Функции нескольких переменных и их дифференцирование Пределы функций нескольких переменных Приближённые вычисления с помощью дифференциала Свойства градиента и производной по направлению | |
| Дифференциальное и интегральное исчисление | |
| Интегрирование элементарных дробей, рациональных функций, биноминальных дифференциалов Логарифмическое дифференцирование | |
| Дифференциальные уравнения при решении задач | |
| Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальные уравнения при решении физических задач | |
| Методы интегрирования | |
|
Интегрирование по частям Способ подстановки (замены переменных) | |
| Интегрирование тригонометрических функций | |
| Интегралы от произведений синусов и косинусов Функции нескольких переменных При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных. | |
| Применение интегралов при вычисление плащадей и обьемов | |
| |
| Вычисление неберущихся интегралов | |
| Вычисление неопределенного интеграла | |
| Интеграл с переменным верхним пределом Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций Матрица Гессе | |
Определение. Функция f(x, y) называется однородной n – го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется тождество:
Пример. Является ли однородной функция 
Таким образом, функция f(x, y) является однородной 3- го порядка.
Определение. Дифференциальное уравнение вида 
называется однородным, если его правая часть
f(x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно
своих аргументов.
Любое уравнение вида 
является однородным, если функции P(x,
y) и Q(x,
y) – однородные
функции одинакового измерения.
Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными.
Рассмотрим однородное уравнение 
Расчёт трёхфазной цепи Электротехника курсовая работа
Т.к. функция f(x, y) – однородная нулевого измерения, то можно записать:
Т.к.
параметр t вообще
говоря произвольный, предположим, что 
. Получаем:
Правая часть полученного
равенства зависит фактически только от одного аргумента 
, т.е.
Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде:
Далее
заменяем y = ux, 
.
таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u.
Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения.
Поверхностные интегралы первого рода Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения l поверхности существует конечный предел интегральных сумм, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода или интегралом по площади поверхности.
Свойства поверхностного интеграла первого рода
Поверхностные интегралы второго рода Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения поверхности S интегральные суммы, составленные как суммы произведений значений некоторой функции на площадь частичной поверхности, имеют конечный предел, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода.
Связь поверхностных интегралов первого и второго рода Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.
Формула Гаусса – Остроградского Формула Гаусса – Остроградского является аналогом формулы Грина – Остроградского. Эта формула связывает поверхностный интеграл второго рода по замкнутой поверхности с тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью.
Найти формулу вычисления объема шара
Элементы теории поля
Формула Стокса. Формула Стокса связывает криволинейные интегралы второго рода с поверхностными интегралами второго рода.
Определение.
Криволинейный интеграл, представляющий собой работу векторного поля вдоль некоторой
кривой L называется линейным интегралом от вектора по ориентированной кривой L.
Неопределенный интегралВекторное
произведение векторов
|