|
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами
Метод вариации произвольных постоянных
Линейные неоднородные дифференциальные
уравнения с постоянными коэффициентами
Уравнения с правой частью специального
вида
Пример. Решить уравнение
Пример. Решить уравнение
Нормальные
системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Нормальные системы линейных
однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Пример.
Найти решение системы уравнений
Пример. Найти общее решение системы уравнений:
Элементы теории устойчивости
Ляпунов Александр Михайлович Производная
по направлению Проведем через точки М и М1 вектор .
Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно
a, b, g. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора
.
Классификация точек покоя
Классификация основных типов
уравнений математической физики
Уравнения математической физики. Уравнения
в частных производных.
Волновое уравнение
Уравнение колебаний струны
краевые условия
Решение задачи Коши методом разделения переменных.
Решение задачи Коши методом Даламбера
Уравнение теплопроводности
Уравнение
Лапласа
Решение задачи Дирихле для круга
Ряды. Основные определения.
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым
рядом.
Свойства рядов
Критерий Коши необходимые и достаточные условия сходимости ряда
Ряды с неотрицательными членами
Признак Коши. (радикальный признак) Если для ряда с неотрицательными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство
Пример. Определить сходимость ряда .
Интегральный признак Коши
Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды
Знакочередующийся ряд можно записать в виде: где
Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов
Пример. Найти решение уравнения 
c начальными условиями y(0)=1,
y’(0)=0.
Решение
уравнения будем искать в виде 
Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:
Отсюда получаем: 
………………
Получаем, подставив начальные условия в выражения для искомой функции и ее первой производной:
Окончательно
получим: 
Итого:
Расчёт трёхфазной цепи Электротехника курсовая работа
Существует и другой метод решения дифференциальных уравнений с помощью рядов. Он носит название метод последовательного дифференцирования.
Рассмотрим тот же пример. Решение дифференциального уравнения будем искать в виде разложения неизвестной функции в ряд Маклорена.
Если заданные
начальные условия y(0)=1, y’(0)=0
подставить в исходное дифференциальное уравнение, получим,
что 
Далее запишем дифференциальное уравнение в виде 
и будем последовательно
дифференцировать его по х.
После подстановки полученных значений получаем:
Функциональные последовательности Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х, то ряд называется функциональным.
Функциональные ряды
Признак равномерной сходимости Вейерштрасса
Степенные ряды Определение. Степенным рядом называется ряд вида .
Теоремы Абеля Экстремум функции нескольких переменных Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию u = f( x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение
Действия со степенными рядами
Разложение функций в степенные ряды. Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.
Способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования
Пример. Разложить в степенной ряд функцию .
Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения.
Пример. Найти решение уравнения c начальными условиями y(0)=1, y’(0)=0.
Ряды Фурье
Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье
Разложение в ряд Фурье непериодической функции
Ряд Фурье для четных и нечетных функций
Ряд Фурье для четных и нечетных функций
Ряды Фурье
для функций любого периода
Неопределенный интегралВекторное
произведение векторов
|