Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами
Метод вариации произвольных постоянных
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Уравнения с правой частью специального вида
Пример. Решить уравнение
Пример. Решить уравнение
Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Пример. Найти решение системы уравнений
Пример. Найти общее решение системы уравнений:
Элементы теории устойчивости
Ляпунов Александр Михайлович Производная по направлению Проведем через точки М и М₁ вектор . Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно a, b, g. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора .
Классификация точек покоя
Классификация основных типов уравнений математической физики
Уравнения математической физики. Уравнения в частных производных.
Волновое уравнение
Уравнение колебаний струны
краевые условия
Решение задачи Коши методом разделения переменных.
Решение задачи Коши методом Даламбера
Уравнение теплопроводности
Уравнение Лапласа
Решение задачи Дирихле для круга
Ряды. Основные определения. Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом.

Свойства рядов

Критерий Коши необходимые и достаточные условия сходимости ряда

Ряды с неотрицательными членами

Признак Коши. (радикальный признак) Если для ряда с неотрицательными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство

Пример. Определить сходимость ряда .

Интегральный признак Коши

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды

Знакочередующийся ряд можно записать в виде: где

Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов

С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида:

Если все коэффициенты и правая часть этого уравнения разлагаются в сходящиеся в некотором интервале степенные ряды, то существует решение этого уравнения в некоторой малой окрестности нулевой точки, удовлетворяющее начальным условиям.

Это решение можно представить степенным рядом:

Для нахождения решения остается определить неизвестные постоянные c_i.

Эта задача решается методом сравнения неопределенных коэффициентов. Записанное выражение для искомой функции подставляем в исходное дифференциальное уравнение, выполняя при этом все необходимые действия со степенными рядами (дифференцирование, сложение, вычитание, умножение и пр.)

Затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях уравнения. В результате с учетом начальных условий получим систему уравнений, из которой последовательно определяем коэффициенты c_i.

Отметим, что этот метод применим и к нелинейным дифференциальным уравнениям.

Функциональные последовательности Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х, то ряд называется функциональным.

Признак равномерной сходимости Вейерштрасса

Степенные ряды Определение. Степенным рядом называется ряд вида .

Теоремы Абеля Экстремум функции нескольких переменных Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию u = f( x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение

Разложение функций в степенные ряды. Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.

Способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования

Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения.

Пример. Найти решение уравнения c начальными условиями y(0)=1, y’(0)=0.

Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье

Разложение в ряд Фурье непериодической функции

Вычисление интегралов методом Монте-Карло Дифференцирование \| Интегрирование \| Применение интегралов \| Вычисление интегралов \| Неопределенный интеграл \| На главную
Определенные интегралы \| Степенные ряды \| Комплексные числа \| Понятие комплексного числа Матрицы \| Предел функции Функции нескольких переменных и их дифференцирование Направляющие линии и сетка Adobe Illustrator Матрицы и определители