Вычисление интегралов методом Монте-Карло Дифференцирование | Интегрирование | Применение интегралов | Вычисление интегралов | Неопределенный интеграл | На главную

Определенные интегралы | Степенные ряды | Комплексные числа | Понятие комплексного числа Матрицы | Предел функции Функции нескольких переменных и их дифференцирование Направляющие линии и сетка Adobe Illustrator Матрицы и определители

Действия со степенными рядами

Функциональные последовательности Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х, то ряд называется функциональным.

Функциональные ряды

Признак равномерной сходимости Вейерштрасса

Степенные ряды Определение. Степенным рядом называется ряд вида .

Теоремы Абеля Экстремум функции нескольких переменных Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию u = f( x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение

Действия со степенными рядами

Разложение функций в степенные ряды. Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.

Способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования

Пример. Разложить в степенной ряд функцию .

Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения.

Пример. Найти решение уравнения c начальными условиями y(0)=1, y’(0)=0.

Ряды Фурье

Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье

Разложение в ряд Фурье непериодической функции

Ряд Фурье для четных и нечетных функций

Ряд Фурье для четных и нечетных функций

Ряды Фурье для функций любого периода

1) Интегрирование степенных рядов.

Если некоторая функция f(x) определяется степенным рядом: , то интеграл от этой функции можно записать в виде ряда:

 2) Дифференцирование степенных рядов.

Производная функции, которая определяется степенным рядом, находится по формуле:

 3) Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов.

Сложение и вычитание степенных рядов сводится к соответствующим операциям с их членами:

Произведение двух степенных рядов выражается формулой:

Коэффициенты с_i находятся по формуле:

Деление двух степенных рядов выражается формулой:

Для определения коэффициентов q_n рассматриваем произведение , полученное из записанного выше равенства и решаем систему уравнений:

Функциональные последовательности Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х, то ряд называется функциональным.

Функциональные ряды

Признак равномерной сходимости Вейерштрасса

Степенные ряды Определение. Степенным рядом называется ряд вида .

Теоремы Абеля Экстремум функции нескольких переменных Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию u = f( x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение

Действия со степенными рядами

Разложение функций в степенные ряды. Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.

Способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования

Пример. Разложить в степенной ряд функцию .

Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения.

Пример. Найти решение уравнения c начальными условиями y(0)=1, y’(0)=0.

Ряды Фурье

Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье

Разложение в ряд Фурье непериодической функции

Ряд Фурье для четных и нечетных функций

Ряд Фурье для четных и нечетных функций

Ряды Фурье для функций любого периода