|
Функциональные последовательности Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х, то ряд называется функциональным.
Функциональные ряды
Признак равномерной сходимости Вейерштрасса
Степенные ряды Определение. Степенным рядом называется ряд вида .
Теоремы Абеля Экстремум функции нескольких переменных Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию u = f( x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение
Действия со степенными рядами
Разложение функций в степенные ряды. Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.
Способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования
Пример. Разложить в степенной ряд функцию .
Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения.
Пример. Найти решение уравнения c начальными условиями y(0)=1, y’(0)=0.
Ряды Фурье
Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье
Разложение в ряд Фурье непериодической функции
Ряд Фурье для четных и нечетных функций
Ряд Фурье для четных и нечетных функций
Ряды Фурье
для функций любого периода
Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)
(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)
Ряд 
сходится
равномерно и притом абсолютно на отрезке [a,b],
если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов
сходящегося числового ряда с положительными членами :
т.е. имеет место неравенство:
.
Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд мажорируется числовым рядом 
.
Пример. Исследовать на сходимость ряд 
.
Так
как 
всегда,
то очевидно, что 
.
При
этом известно, что общегармонический ряд 
при a=3>1 сходится, то
в соответствии с признаком Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно сходится и
притом в любом интервале.
Расчёт трёхфазной цепи Электротехника курсовая работа
Пример. Исследовать на сходимость ряд 
.
На
отрезке [-1,1] выполняется неравенство 
т.е. по признаку Вейерштрасса на этом отрезке исследуемый
ряд сходится, а на интервалах (-µ, -1) È (1, µ) расходится.
Свойства равномерно сходящихся рядов.
1) Теорема о непрерывности суммы ряда.
Если члены ряда
- непрерывные на отрезке [a,b] функции и ряд сходится равномерно, то и его сумма S(x)
есть непрерывная функция на отрезке [a,b].
2) Теорема о почленном интегрировании ряда.
Равномерно сходящийся на отрезке [a,b] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [a,b] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.
3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.
Если члены ряда
сходящегося на отрезке [a,b] представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные
производные, и ряд, составленный из этих производных 
сходится на этом отрезке
равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.
На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х, можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями.
На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд.
Функциональные последовательности Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х, то ряд называется функциональным.
Функциональные ряды
Признак равномерной сходимости Вейерштрасса
Степенные ряды Определение. Степенным рядом называется ряд вида .
Теоремы Абеля Экстремум функции нескольких переменных Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию u = f( x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение
Действия со степенными рядами
Разложение функций в степенные ряды. Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.
Способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования
Пример. Разложить в степенной ряд функцию .
Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения.
Пример. Найти решение уравнения c начальными условиями y(0)=1, y’(0)=0.
Ряды Фурье
Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье
Разложение в ряд Фурье непериодической функции
Ряд Фурье для четных и нечетных функций
Ряд Фурье для четных и нечетных функций
Ряды Фурье
для функций любого периода
Неопределенный интегралВекторное
произведение векторов
|