|
Функциональные последовательности Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х, то ряд называется функциональным.
Функциональные ряды
Признак равномерной сходимости Вейерштрасса
Степенные ряды Определение. Степенным рядом называется ряд вида .
Теоремы Абеля Экстремум функции нескольких переменных Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию u = f( x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение
Действия со степенными рядами
Разложение функций в степенные ряды. Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.
Способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования
Пример. Разложить в степенной ряд функцию .
Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения.
Пример. Найти решение уравнения c начальными условиями y(0)=1, y’(0)=0.
Ряды Фурье
Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье
Разложение в ряд Фурье непериодической функции
Ряд Фурье для четных и нечетных функций
Ряд Фурье для четных и нечетных функций
Ряды Фурье
для функций любого периода
Пусть в плоскости XOY имеется круг радиуса R с центром в начале координат и на его окружности задана функция f(j), где j - полярный угол.
Требуется найти функцию 
, которая удовлетворяет уравнению Лапласа
и
при 
Запишем уравнение Лапласа в полярных координатах:
Полагаем
Подставляя
это соотношение в уравнение Лапласа, получаем:
Таким образом, имеем два уравнения:
Общее
решение первого уравнения имеет вид: 
Решение
второго уравнения ищем в виде: 
. При подстановке получим:
Общее
решение второго уравнения имеет вид: 
.
Подставляя полученные решения в уравнение 
, получим:
Эта функция будет решением уравнения Лапласа при любом k ¹ 0.
Расчёт трёхфазной цепи Электротехника курсовая работа
Если k = 0, то 
следовательно 
.
Решение должно быть периодическим, т.к. одно и то же значение будет повторяться через 2p. (Тогда рассматривается одна и та же точка круга.) Поэтому В0 = 0.
Решение должно быть конечным и непрерывным, поэтому D0 = 0.
Окончательно
получаем: 
При
этом: 
Если подставить эти коэффициенты в полученную выше формулу и произвести упрощение, получаем окончательный результат решения задачи Дирихле, который называется интегралом Пуассона. (Симеон Дени Пуассон (1781 – 1840) – французский математик)
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.
Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных. Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Нормалью к поверхности в точке N0 называется прямая, проходящая через точку N0 перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.
Пример
Свойства общего решения
Дифференциальные уравнения первого
порядка Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение,
связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение
вида:
Уравнения с разделяющимися переменными
Пример. Найти общее решение
дифференциального уравнения:
Пример. Решить уравнение
Пример. Решить
уравнение
Однородные уравнения Определение. Функция f(x, y) называется однородной
n – го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения
параметра t (кроме нуля) выполняется тождество:
Пример. Решить уравнение
.
Уравнения, приводящиеся к однородным
Пример. Решить уравнение
Линейные уравнения Определение. Дифференциальное уравнение называется линейным
относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано
в виде:
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
Метод Лагранжа
Пример. Решить уравнение
Пример. Решить уравнение
Уравнения в полных
дифференциалах
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида:
называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции
Пример. Решить
уравнение
Уравнения Лагранжа и Клеро
Пример. Решить уравнение с заданными
начальными условиями.
Пример. Найти общий интеграл уравнения .
Пример.
Решить предыдущий пример другим способом.
Пример. Решить уравнение с начальным
условием у(0) = 0.
Пример. Решить дифференциальное уравнение с начальным
условием у(1) = 0.
Пример. Решить дифференциальное уравнение с начальным
условием у(1)=0.
Геометрическая интерпретация решений дифференциальных уравнений
первого порядка
Численные методы решения дифференциальных уравнений
Дифференциальные уравнения высших порядков
Уравнения, допускающие понижение
порядка
Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до
порядка k – 1 включительно
Уравнения, не содержащие явно независимой переменной
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Линейные однородные
дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами
Структура общего
решения
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго
порядка
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Пример. Решить уравнение .
Пример. Решить уравнение
Пример. Решить
уравнение
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными
коэффициентами
Метод вариации произвольных постоянных
Линейные неоднородные
дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Уравнения с правой
частью специального вида
Пример. Решить уравнение
Пример. Решить уравнение
Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Нормальные
системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Пример. Найти решение системы уравнений
Пример. Найти общее решение
системы уравнений:
Элементы теории устойчивости
Ляпунов Александр Михайлович
Классификация точек покоя
Классификация основных типов уравнений математической
физики
Уравнения математической физики. Уравнения в частных производных.
Волновое уравнение
Уравнение колебаний струны
краевые условия
Решение задачи Коши методом разделения переменных.
Решение задачи Коши методом
Даламбера
Уравнение теплопроводности
Уравнение Лапласа
Решение
задачи Дирихле для круга
Ряды. Основные определения. Определение. Сумма членов
бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом.
Свойства рядов
Критерий Коши необходимые и достаточные условия сходимости ряда
Ряды с неотрицательными членами
Признак Коши. (радикальный признак) Если для ряда с неотрицательными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство
Пример. Определить сходимость ряда .
Интегральный признак Коши
Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды
Знакочередующийся ряд можно записать в виде: где
Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов
Функциональные последовательности Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х, то ряд называется функциональным.
Функциональные ряды
Признак равномерной сходимости Вейерштрасса
Степенные ряды Определение. Степенным рядом называется ряд вида .
Теоремы Абеля
Действия со степенными рядами
Разложение функций в степенные ряды. Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.
Способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования
Пример. Разложить в степенной ряд функцию .
Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения.
Пример. Найти решение уравнения c начальными условиями y(0)=1, y’(0)=0.
Ряды Фурье
Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье
Разложение в ряд Фурье непериодической функции
Ряд Фурье для четных и нечетных функций
Ряд Фурье для четных и нечетных функций
Ряды Фурье для функций любого периода
Ряд Фурье по ортогональной системе функций Определение. Функции j(х) и y(х), определенные на отрезке [a, b], называются ортогональными на этом отрезке, если
Интеграл Фурье
Преобразование Фурье
Элементы теории функций комплексного переменного Определение. Если каждому комплексному числу z из некоторого множества D по некоторому закону поставлено в соответствие определенное комплексное число w из множества G, то на этой области задана однозначная функция комплексного переменного, отображающая множество D на множество G.
Основные трансцендентные функции
Производная функций комплексного переменного Определение. Производной от однозначной функции w = f(z) в точке z называется предел:
Условия Коши – Римана
Интегрирование функций комплексной переменной
Интегральная формула Коши
Ряды Тейлора и Лорана
Полюс функции
Теорема о вычетах
Пример. Вычислить определенный интеграл
Операционное исчисление. Преобразование Лапласа.
Свойства изображений
Таблица изображений некоторых функций
Неопределенный интегралВекторное
произведение векторов
|