Вычисление интегралов методом Монте-Карло Дифференцирование | Интегрирование | Применение интегралов | Вычисление интегралов | Неопределенный интеграл | На главную

Определенные интегралы | Степенные ряды | Комплексные числа | Понятие комплексного числа Матрицы | Предел функции Функции нескольких переменных и их дифференцирование Направляющие линии и сетка Adobe Illustrator Матрицы и определители

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Теоремы свертки и запаздывания

Пример. Решить уравнение

Пример. Решить уравнение

Пример. Решить систему уравнений:

Пример. Решить систему уравнений при x(0) = y(0) = 1

Криволинейные интегралы Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой на частичные отрезки существует предел интегральных сумм, то этот предел называется криволинейным интегралом от функции f(x, y, z) по длине дуги АВ или криволинейным интегралом первого рода.

Свойства криволинейного интеграла первого рода Частные производные высших порядков Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные и тоже будут определены в той же области или ее части.

Пример. Вычислить интеграл по одному витку винтовой линии

Криволинейные интегралы второго рода Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой АВ интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется криволинейным интегралом по переменной х от функции P(x, y, z) по кривой АВ в направлении от А к В.

Свойства криволинейного интеграла второго рода

Пример. Вычислить криволинейный интеграл . L – контур, ограниченный параболами .

Формула Остроградского – Грина Формула Остроградского – Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом и двойным интегралом, т.е. дает выражение интеграла по замкнутому контуру через двойной интеграл по области, ограниченной этим контуром.

Пример. Решим пример, рассмотренный выше, воспользовавшись формулой Остроградского – Грина.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением n – го порядка называется любое уравнение первой степени относительно функции у и ее производных  вида:

где p₀, p₁, …,p_n – функции от х или постоянные величины, причем p₀ ¹ 0.

  Левую часть этого уравнения обозначим L(y).

 Определение. Если f(x) = 0, то уравнение L(y) = 0 называется линейным однородным уравнением, если f(x) ¹ 0, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным неоднородным уравнением, если все коэффициенты p₀, p₁, p₂, … p_n – постоянные числа, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами.

  Расчёт трёхфазной цепи Электротехника курсовая работа

  Отметим одно важное свойство линейных уравнений высших порядков, которое отличает их от нелинейных. Для нелинейных уравнений частный интеграл находится из общего, а для линейных – наоборот, общий интеграл составляется из частных. Линейные уравнения представляют собой наиболее изученный класс дифференциальных уравнений высших порядков. Это объясняется сравнительной простотой нахождения решения. Если при решении каких – либо практических задач требуется решить нелинейное дифференциальное уравнение, то часто применяются приближенные методы, позволяющие заменить такое уравнение “близким” к нему линейным.

  Рассмотрим способы интегрирования некоторых типов линейных дифференциальных уравнений высших порядков.