|
Примеры решения задач по высшей математике
Функции нескольких переменных и их дифференцирование Пределы функций нескольких переменных Приближённые вычисления с помощью дифференциала Свойства градиента и производной по направлению Дифференциальное и интегральное исчисление Интегрирование элементарных дробей, рациональных функций, биноминальных дифференциалов Логарифмическое дифференцирование Дифференциальные уравнения при решении задач Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальные уравнения при решении физических задач Методы интегрирования Интегрирование по частям Способ подстановки (замены переменных)
Интегрирование тригонометрических функций Интегралы от произведений синусов и косинусов Функции нескольких переменных При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных. Применение интегралов при вычисление плащадей и обьемов
- Применение интегралов при вычисление объема тела
- Вычисление длин дуг плоских кривых, заданных в декартовых координатах и параметрически
- Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы (контура)
- Применение интегралов при вычислении площади в полярных координатах
- Вычисление площадей в декартовых координатах
- Математика лекции учебники курсовые конспекты студенту и школьнику
Вычисление неберущихся интегралов Вычисление неопределенного интеграла Интеграл с переменным верхним пределом Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций Матрица Гессе
Решение различных геометрических, физических и инженерных задач часто приводят к уравнениям, которые связывают независимые переменные, характеризующие ту ил иную задачу, с какой – либо функцией этих переменных и производными этой функции различных порядков.
В качестве примера можно рассмотреть простейший случай равноускоренного движения материальной точки.
Известно, что перемещение материальной точки при равноускоренном движении является функцией времени и выражается по формуле:
В свою очередь ускорение a является производной по времени t от скорости V, которая также является производной по времени t от перемещения S. Т.е.
Тогда получаем:
- уравнение связывает функцию f(t) с независимой переменной t и производной второго порядка функции f(t).
Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.
Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.
Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.
Пример.
- обыкновенное дифференциальное уравнение 1 – го порядка. В общем виде записывается
.
- обыкновенное дифференциальное уравнение 2 – го порядка. В общем виде записывается
- дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка.
Определение. Общим решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = j(x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.
Поверхностные интегралы первого рода Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения l поверхности существует конечный предел интегральных сумм, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода или интегралом по площади поверхности.
Свойства поверхностного интеграла первого рода
Поверхностные интегралы второго рода Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения поверхности S интегральные суммы, составленные как суммы произведений значений некоторой функции на площадь частичной поверхности, имеют конечный предел, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода.
Связь поверхностных интегралов первого и второго рода Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.
Формула Гаусса – Остроградского Формула Гаусса – Остроградского является аналогом формулы Грина – Остроградского. Эта формула связывает поверхностный интеграл второго рода по замкнутой поверхности с тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью.
Найти формулу вычисления объема шара
Элементы теории поля
Формула Стокса. Формула Стокса связывает криволинейные интегралы второго рода с поверхностными интегралами второго рода.
Определение. Криволинейный интеграл, представляющий собой работу векторного поля вдоль некоторой кривой L называется линейным интегралом от вектора по ориентированной кривой L.
Неопределенный интегралВекторное произведение векторов Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды
