Матрицы

 

Вычислить методом окаймления ранг матрицы

 .

Решение. Минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу, отличен от нуля:

  . 

Теперь вычислим миноры, окаймляющие данный. Таковых два:

 ,

 

  .

Таким образом, оба окаймляющих минора равны нулю и, следовательно, ранг исходной матрицы равен двум: .

 

Квадратичные формы и их применение

Примеры

Построить в прямоугольной системе координат фигуру, определяемую следующим уравнением, предварительно приведя его к каноническому виду

 . Определенный интеграл Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке

  Решение. Выделим в этом выражении квадратичную форму . Это три первых слагаемых уравнения .

Матрица квадратичной формы равна . Проведём процедуру приведения квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования. Характеристическое уравнение матрицы имеет вид

 .

Его корни таковы: .

Найдём теперь собственные векторы, соответствующие этим корням и отнормрируем их. Для вектора , соответствующего 

, имеем 

 

  

В итоге собственный вектор, соответствующий , можно выбрать в виде

 .

Анологичная процедура для собственного вектора даёт:  

Откуда:

  .

После нормировки полученных векторов имеем:

 .

Эти векторы представляют собой ортонормированный базис новой системы координат. Матрица ортогонального оператора, приводящего квадратичную форму  к каноническому виду , есть

 

 Связь старых  и новых  координат определяется соотношением .

Учитывая приведенные выражения, приведём заданную квадратичную форму к каноническому виду 

Это есть каноническое уравнение эллипса в системе координат ,которая получается из исходной её поворотом на угол и переносом начала координат в точку .