Применение формулы Тейлора при вычислении предела функции

 

 

 Пример Найти предел функции .

Решение. Здесь, как впрочем и во всех предыдущих примерах, имеем неопределенность . Так как знаменатель одночлен, то можно применить эквивалентность 1-го порядка:

 

Для числителя имеем:

.

Эквивалентные бесконечно малые. Применение эквивалентности при вычислении пределов функций.

 3.1. Определение 1. Функция  называется бесконечно малой при  (или ), если  (или ).

Так как , то при  -бесконечно малая. Однако  не является бесконечно малой при , так как  Одна и та же функция может быть бесконечно малой или не быть в зависимости от предельного значения x0. Есть функции, например x2+1, которые не могут быть бесконечно малыми ни при каких условиях. Вычисление определенного интеграла Пусть в интеграле  нижний предел а = const, а верхний предел b изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла.

Определение 2. Две бесконечно малые называются эквивалентными, если предел их отношения равен 1.

При вычислении пределов часто применяется следующая Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых (неопределенность ) равен пределу отношения двух других бесконечно малых, эквивалентных данным, т.е.

Отметим также: если , то .