Кратные интегралы. Двойной интеграл

Вычисление двойных интегралов

Интегрирование по области, представляющей собой криволинейную трапецию

Рассмотрим область D={(x,y)½ y1(x) £ y £ y2(x),xÎ[a,b]}, где y1(x), y2(x) – непрерывные функции на [a,b]. Области такого вида будем называть областями типа A (см. ср1_6_2.swf). Области вида D={(x,y)½ x1(y) £ x £ x2(y),yÎ[c,d]}, где x1(y), x2(y) – непрерывные функции на [c,d] называются областями типа B (см. ср1_6_2.swf).

Теорема. Если для области типа A существуют  и для "xÎ[a,b], то существует  и

=.

Доказательство. Пусть D={(x,y)½ y1(x) £ y £ y2(x),xÎ[a,b]}, где y1(x), y2(x) – непрерывные функции на [a,b]. Рассмотрим функцию

f *(x,y) = ,

где R=[A,B]´[C,D] прямоугольник содержащий область D. Для функции f * выполнены условия предыдущей теоремы, поэтому

=.

Далее = =,= откуда и следует требуемое равенство. Аналогично доказывается

Теорема. Если для области типа B существуют  и для "yÎ[c,d], то существует  и

=.

Полилинейные формы и их связь с тензорами

Пусть Х – евклидово пространство (линейное пространство со скалярным произведением) размерности n и Х* его сопряженное пространство, отождествляемое с ним самим (см. п.1 §1). Обозначим xk = ej  , y s =ei.

Определение. Функция F(x1,x2,…,xp,y1,y2,…,yq) от p контравариантных и q ковариантных векторов называется полилинейной формой ( (p,q) – полилинейной формой ), если она линейна по каждому аргументу.

Полилинейные формы можно складывать, умножать на числа и перемножать. Перемножение двух форм типов (p,q),(r,s) дает форму типа (p+r, q+s) H(x1,x2,…,xp+r,y1,y2,…,yq+s)=

F(x1,x2,…,xp,y1,y2,…,yq) G(xp+1,xp+2,…,xp+r,yq+1,yq+2,…,yq+s).

 Координатами полилинейной формы в базисе ej , ej являются числа Производная функции, заданной параметрически

  =.

Рассмотрим наборы векторов x1=, x2=,…, xp=,y1=, y2=,…, yq=. Координаты полилинейной формы в новом базисе = и = будут равны

====.

Таким образом, полилинейная форма типа (p,q) является тензором типа (p,q).

Операции между тензорами можно определять через полилинейные формы.

Операция свертки. Пусть А – тензор, соответствующий форме F(x1,x2,…,xp,y1,y2,…,yq), рассмотрим новую форму

G(x2,…,xp,y2,…,yq)= F(ea ,,x2,…,xp,ea,y2,…,yq).

Докажем, что это определение не зависит от выбора базиса. Так как x2,…,xp,y2,…,yq фиксированы, то достаточно рассмотреть F(ea ,ea). Имеем = и = и F()=F(,)=F(,)=F(,)=F(,).

Полилинейная форма G(x2,…,xp,y2,…,yq) называется сверткой. Координатами этой формы будут

= =

Свертку можно определять по любой паре индексов, расположенных на разных уровнях.