Основные операции над тензорами

Обозначения. Мульти индекс.

i=(i1, i2,…, ip), a=(a1, a2,…, aq),

j=(j1, j2,…, jp), b=(b1, b2,…, bq),

p, q – называются порядками мульти индексов. Для больших букв будет использоваться обозначение

,

если малая буква, то будет использоваться обозначение

,

в последнем случае порядки мульти индексов должны совпадать. В этих обозначениях определение тензора (p,q) запишется в виде

.

Мульти индексы складываются по правилу

i+j=(i1, i2,…, ip, j1, j2,…, jp).

Сумма двух тензоров A, B типа (p,q) определяется по формуле

.

В результате операции получается тензор того же типа.

Произведение тензора на число определяется по формуле

.

В результате операции получается тензор того же типа.

Произведение тензора A типа (p,q) на тензор B типа (r,s) определяется по формуле

.

Или в развернутом виде

.

В результате операции получается тензор типа (p+r,q+s). Докажем последнее утверждение. Для исходных тензоров имеем формулы преобразования их координат

, . Тогда для координат произведения получим

===+.

Множества тензоров типа (p,q) в евклидовом пространстве Х с введенными таким образом операциями обозначается .

Операция перестановки местами двух выбранных индексов определяет новый тензор того же типа.

Рассмотрим эту операцию на примере тензора типа (4, 2). Положим

=, =. Найдем формулы преобразования координат от к . Имеем

====.

Кратные интегралы. Двойной интеграл

Свойства определенного интеграла

1.Простейшие свойства

1)

Если  f и g интегрируемы на D, то f + g также интегрируема и

(f(x,y) + g(x,y))dxdy = f(x,y)dxdy + g(x,y)dxdy. Параметрическое задание функции Исследование и построение графика кривой, которая задана системой уравнений вида

Доказательство. Пусть w¢k колебание функции f на Dk , w¢¢k колебание функции g на Dk , wk колебание функции f+g на Dk . Тогда

wk =sup|f(P¢)+g(P¢) – f(Q¢) – g(Q¢)|£ sup(|f(P¢)– f(Q¢) |+| g(P¢)– g(Q¢)|)£ 

£ sup|f(P¢) - f(Q¢)|+ sup|g(P¢) – g(Q¢)|=w¢k + w¢¢k . Отсюда

S(f+g ,D) – s(f+g ,D)=Swk Dxk £ Sw¢k Dxk + Sw¢¢k Dxk .

Откуда следует интегрируемость суммы. Далее для какой-нибудь сходящейся последовательности интегральных сумм

sm(f+g) = sm(f) + sm(g).

переходя к пределу при m®¥ получим требуемое равенство.

Если f интегрируема на D , то cf(x) также интегрируема и

c f(x,y)dxdy =cf(x,y)dxdy.

Утверждение следует из соотношения s(cf,D,X)= cs(f,D, X) для интегральных сумм.

Если f интегрируема на D , то |f| также интегрируема и

| f(x,y)dxdy | £| f(x,y)|dxdy.

Доказательство. Пусть w¢k колебание функции | f | на Dk , а wk колебание функции f на Dk . Тогда

w¢k =sup||f(P¢)| –| f(Q¢)||£ sup|f(P¢)– f(Q¢) |= wk .

Откуда следует интегрируемость | f |. Далее для сходящейся последовательности интегральных сумм

|sm(f)|£ sm(|f|).

переходя к пределу при m®¥ получим требуемое неравенство.

Если f, g интегрируемы на D , то fg также интегрируема.