Кратные интегралы. Двойной интеграл

Теоремы о среднем, аддитивность по множеству.

Теорема 1. Если m £ f(x,y) £ M на D, то $ cÎ[m,M] :

 = c mD.

Доказательство (для случая mD¹0).

m mD =dxdy £  £ dxdy = M mD. Откуда

 и c=.

Следствие. Если f непрерывна на связном компакте D, то $xÎD:

  dxdy = f(x)mD.

Теорема 2. Если f – интегрируема на D и D=D1ÈD2 (разбиение произведено некоторой линией), то f(x) – интегрируема на D1 и D2 и

  dxdy =  dxdy +  dxdy .

Доказательство. Пусть D¢ - разбиение D1. Дополним это разбиение до разбиения D всего D так, чтобы характеристика разбиения не изменилась l(D) = l(D¢) . В этом случае S(f,D¢) –s(f,D¢) £ S(f,D)-s(f,D) , откуда следует интегрируемость на D1. Аналогично доказывается интегрируемость на области D2 . Если существование интегралов доказано, то для доказательства требуемого равенства следует выбрать сходящиеся последовательности интегральных сумм s( f, D¢ m,X m), s( f,D¢¢ m, X m) для D1 и D2 и их объединение Dm = D¢ m +D¢¢ m. Для таких сумм получим

s( f,Dm, X m) = s( f, D¢ m, X m) + s( f,D¢¢ m, X m).

Переходя к пределу в последнем равенстве получим требуемое соотношение.

Теорема (Неравенство Коши-Буняковского)

Для интегрируемых на D функций f и g справедливо неравенство

.

Доказательство.

0£=+2+l2.

Так как это справедливо для любых l, то -£ 0, откуда и следует требуемое неравенство.

Полилинейные формы и их связь с тензорами

Пусть Х – евклидово пространство (линейное пространство со скалярным произведением) размерности n и Х* его сопряженное пространство, отождествляемое с ним самим (см. п.1 §1). Обозначим xk = ej  , y s =ei.

Определение. Функция F(x1,x2,…,xp,y1,y2,…,yq) от p контравариантных и q ковариантных векторов называется полилинейной формой ( (p,q) – полилинейной формой ), если она линейна по каждому аргументу.

Полилинейные формы можно складывать, умножать на числа и перемножать. Перемножение двух форм типов (p,q),(r,s) дает форму типа (p+r, q+s) H(x1,x2,…,xp+r,y1,y2,…,yq+s)=

F(x1,x2,…,xp,y1,y2,…,yq) G(xp+1,xp+2,…,xp+r,yq+1,yq+2,…,yq+s).

 Координатами полилинейной формы в базисе ej , ej являются числа Производная функции, заданной параметрически

  =.

Рассмотрим наборы векторов x1=, x2=,…, xp=,y1=, y2=,…, yq=. Координаты полилинейной формы в новом базисе = и = будут равны

====.

Таким образом, полилинейная форма типа (p,q) является тензором типа (p,q).

Операции между тензорами можно определять через полилинейные формы.

Операция свертки. Пусть А – тензор, соответствующий форме F(x1,x2,…,xp,y1,y2,…,yq), рассмотрим новую форму

G(x2,…,xp,y2,…,yq)= F(ea ,,x2,…,xp,ea,y2,…,yq).

Докажем, что это определение не зависит от выбора базиса. Так как x2,…,xp,y2,…,yq фиксированы, то достаточно рассмотреть F(ea ,ea). Имеем = и = и F()=F(,)=F(,)=F(,)=F(,).

Полилинейная форма G(x2,…,xp,y2,…,yq) называется сверткой. Координатами этой формы будут

= =

Свертку можно определять по любой паре индексов, расположенных на разных уровнях.