Интегралы, зависящие от параметра

Интегрирование интегралов зависящих от параметра

Теорема. Если функция f(x,y) определена и непрерывна на [a,b)´[c,d], интеграл F(y) =  сходится равномерно на [c,d] , то

==.

Доказательство. Для любого h в разумных пределах

=. Отсюда следует требуемое утверждение, если учесть, что  сходится равномерно на [c,d] к  при h®b.

Эту теорему можно обобщить

Теорема. Если функция f(x,y) определена и непрерывна на [a,b)´[c,d), интеграл  сходится равномерно на " [c,h] , интеграл  сходится равномерно на " [a,x] и существует один из повторных интегралов

,

, то существует и другой и выполняется равенство

=.

Без доказательства.

Криволинейные интегралы

Условия независимости интеграла второго рода от пути интегрирования.

Определение. Область называется односвязной, если ее граница представляет собой связное множество. Область называется n-связной, если ее граница распадается на n- связных множеств.

Замечание. Формула Грина верна и для многосвязных областей.

До конца этого пункта будем считать, что область D - открытое и односвязное множество, а функции P(x,y), Q(x,y) непрерывны в замыкании D вместе со своими производными , .

Лемма. Для того, чтобы интеграл Интегральное исчисление Первообразная функция Методы интегрирования

  (4)

( A, B – любые точки из D ) не зависел от пути интегрирования ( а только от начальной и конечной точек A, B ) необходимо и достаточно, чтобы по любой замкнутой кривой (по любому контуру) лежащей в D интеграл (4) был равен нулю

=0.

Доказательство (необходимость). Пусть (4) не зависит от пути интегрирования. Рассмотрим произвольный контур C, лежащий в области D и выберем две произвольные точки A, B на этом контуре. Тогда кривую C можно представить, как объединение двух кривых AB=G2 , AB=G1 , C= + G2 .

По условию =, кроме того =, поэтому =+=-=0. Для доказательства достаточности рассмотрим две точки A, B в области D и два пути AB=G2 , AB=G1 соединяющие эти две точки. Рассмотрим контур C= + G2 . По условию =0 , откуда, с учетом соотношения =+=-, следует требуемое равенство =.

Теорема 1. Для того, чтобы криволинейный интеграл (4) не зависел от пути интегрирования в D, необходимо и достаточно чтобы

в области D. (5)

Достаточность. Если (5) выполнено, то формуле Грина для любого контура C будет

=0,

откуда по лемме следует требуемое утверждение.