Кратные интегралы. Двойной интеграл

Свойства определенного интеграла

1.Простейшие свойства

1)

Если f и g интегрируемы на D, то f + g также интегрируема и

(f(x,y) + g(x,y))dxdy = f(x,y)dxdy + g(x,y)dxdy.

Доказательство. Пусть w¢k колебание функции f на Dk , w¢¢k колебание функции g на Dk , wk колебание функции f+g на Dk . Тогда

wk =sup|f(P¢)+g(P¢) – f(Q¢) – g(Q¢)|£ sup(|f(P¢)– f(Q¢) |+| g(P¢)– g(Q¢)|)£ 

£ sup|f(P¢) - f(Q¢)|+ sup|g(P¢) – g(Q¢)|=w¢k + w¢¢k . Отсюда

S(f+g ,D) – s(f+g ,D)=Swk Dxk £ Sw¢k Dxk + Sw¢¢k Dxk .

Откуда следует интегрируемость суммы. Далее для какой-нибудь сходящейся последовательности интегральных сумм

sm(f+g) = sm(f) + sm(g).

переходя к пределу при m®¥ получим требуемое равенство.

Если f интегрируема на D , то cf(x) также интегрируема и

c f(x,y)dxdy =cf(x,y)dxdy.

Утверждение следует из соотношения s(cf,D,X)= cs(f,D, X) для интегральных сумм.

Если f интегрируема на D , то |f| также интегрируема и

| f(x,y)dxdy | £| f(x,y)|dxdy.

Доказательство. Пусть w¢k колебание функции | f | на Dk , а wk колебание функции f на Dk . Тогда

w¢k =sup||f(P¢)| –| f(Q¢)||£ sup|f(P¢)– f(Q¢) |= wk .

Откуда следует интегрируемость | f |. Далее для сходящейся последовательности интегральных сумм

|sm(f)|£ sm(|f|).

переходя к пределу при m®¥ получим требуемое неравенство.

Если f, g интегрируемы на D , то fg также интегрируема.

Доказательство. Так как функции интегрируемы, то они ограничены |f(x,y)|£ M, |g(x,y)|£ M . Пусть w¢k колебание функции  f на Dk , w¢¢k колебание функции g на Dk, а wk колебание функции f g на Dk . Выполнено соотношение

f(P)g(P) – f(Q)g(Q) = f(P)g(P) – f(P)g(Q) + f(P)g(Q) – f(Q)g(Q) =

=  f(P)(g(P) –g(Q)) + g(Q)( f(P) – f(Q)). Откуда следует неравенство

wk  £ Mw¢¢k + Mw¢k и, следовательно, функция fg интегрируема.

Если f отлична от 0 лишь в конечном числе точек, то она интегрируема и ее интеграл равен нулю.

Доказательство. Для одной точки. Обозначим P0 точку, в которой f(P0)¹0.

Для заданного e >0 рассмотрим e-окрестность Ue точки P0. Если характеристика разбиения l(D)< e , то для любой интегральной суммы будет справедлива оценка . Это следует из того, что все, возможно отличные от нуля слагаемые суммы  попадут в Ue .

Следствие. Если f1 интегрируема, и f2 отлична от f1 на конечном числе точек, то f2 также интегрируема и

 f1(x,y)dxdy = f2(x,y)dxdy .

Доказательство. f2 = f1 + ( f2 – f1 ).

Замечание. Можно доказать, что справедливо и утверждение: Если f отлична от 0 лишь в конечном числе точек или линий, то она интегрируема и ее интеграл равен нулю.

Если f и g интегрируемы на D и f £ g на D , то

f(x,y) dxdy £ g(x,y) dxdy .

Для сходящейся последовательности интегральных сумм

sm(f)£ sm(g).

Полилинейные формы и их связь с тензорами

Пусть Х – евклидово пространство (линейное пространство со скалярным произведением) размерности n и Х* его сопряженное пространство, отождествляемое с ним самим (см. п.1 §1). Обозначим xk = ej  , y s =ei.

Определение. Функция F(x1,x2,…,xp,y1,y2,…,yq) от p контравариантных и q ковариантных векторов называется полилинейной формой ( (p,q) – полилинейной формой ), если она линейна по каждому аргументу.

Полилинейные формы можно складывать, умножать на числа и перемножать. Перемножение двух форм типов (p,q),(r,s) дает форму типа (p+r, q+s) H(x1,x2,…,xp+r,y1,y2,…,yq+s)=

F(x1,x2,…,xp,y1,y2,…,yq) G(xp+1,xp+2,…,xp+r,yq+1,yq+2,…,yq+s).

 Координатами полилинейной формы в базисе ej , ej являются числа Производная функции, заданной параметрически

  =.

Рассмотрим наборы векторов x1=, x2=,…, xp=,y1=, y2=,…, yq=. Координаты полилинейной формы в новом базисе = и = будут равны

====.

Таким образом, полилинейная форма типа (p,q) является тензором типа (p,q).

Операции между тензорами можно определять через полилинейные формы.

Операция свертки. Пусть А – тензор, соответствующий форме F(x1,x2,…,xp,y1,y2,…,yq), рассмотрим новую форму

G(x2,…,xp,y2,…,yq)= F(ea ,,x2,…,xp,ea,y2,…,yq).

Докажем, что это определение не зависит от выбора базиса. Так как x2,…,xp,y2,…,yq фиксированы, то достаточно рассмотреть F(ea ,ea). Имеем = и = и F()=F(,)=F(,)=F(,)=F(,).

Полилинейная форма G(x2,…,xp,y2,…,yq) называется сверткой. Координатами этой формы будут

= =

Свертку можно определять по любой паре индексов, расположенных на разных уровнях.